8、多边形收缩与等面铺砌的旋转对称图形枚举

多边形收缩与等面铺砌的旋转对称图形枚举

1. 多边形收缩相关问题

在多边形收缩研究中，满足特定不等式的参数 $\alpha$ 的最大下界在 $\theta = 0$ 时出现。此时，我们得到方程 $3 - 4\alpha + \alpha^2 = 0$，其解为 $\alpha = 3$。因此，条件 $\ell_6 > 3\ell_1$ 是充分的。

可以证明，收缩序列的每个聚点都是平坦的。因为链 $v_0, v_1, v_2$；$v_3, v_4, v_5$；以及 $v_1, v_2, v_3, v_4$ 都无限收缩，根据引理 5，在每个聚点处，这些链的顶点都共线，从而迫使所有六个顶点共线。

同时，还存在一些开放性问题：
- 是否存在 $n \geq 6$ 的多边形，没有直顶点，并且对于每个收缩序列都能无限收缩到平坦聚点？
- 每个无限收缩序列是否都有（唯一）极限？如果知道只有一个聚点，证明可能会简化。
- 是否存在一种高效算法来确定给定多边形 $P$ 是否有无限收缩序列？如何检测所有收缩序列是否都是无限的？即使给定一个（简洁编码的）无限收缩序列，能否有效地确定该序列是否有效？

2. 多格骨牌、多钻石和多六边形的等面铺砌

2.1 基本概念

多格骨牌、多钻石和多六边形是最简单的瓷砖形状，可通过计算机或手工轻松制作。
- 多格骨牌（或 $n$ - 格骨牌）是由 $n$ 个全等正方形沿边连接而成的平面瓷砖。
- 多钻石（或 $n$ - 钻石）是由 $n$ 个全等等边三角形沿边连接而成的平面瓷砖。
- 多六边形（或 $n$ - 六边形）是由 $n$ 个全等正六