17、图的超级边魔幻性与凸环翻转问题研究

图的超级边魔幻性与凸环翻转问题研究

1 图的超级边魔幻性

1.1 基本概念

• 边魔幻亏数 ：图 $G$ 的边魔幻亏数 $\mu(G)$ 是使得 $G \cup nK_1$ 具有边魔幻标记的最小非负整数 $n$，Kotzig 和 Rosa 证明了图的边魔幻亏数总是有限的。
• 超级边魔幻亏数 ：图 $G$ 的超级边魔幻亏数 $\mu_s(G)$ 是使得 $G \cup nK_1$ 具有超级边魔幻标记的最小非负整数 $n$，若不存在这样的 $n$ 则为 $+\infty$。并非所有图都有有限的超级边魔幻亏数，且对于每个图 $G$，有 $\mu(G) \leq \mu_s(G)$。

1.2 不同图的超级边魔幻亏数

1.2.1 双扇图 $F_{n,2}$

• 当 $n \leq 2$ 时，双扇图 $F_{n,2} \cong P_n + 2K_1$ 是超级边魔幻的。
• 定理 3 ：对于所有 $n \geq 2$，双扇图 $F_{n,2}$ 的超级边魔幻亏数满足 $\lfloor\frac{n - 1}{2}\rfloor \leq \mu_s(F_{n,2}) \leq n - 2$。
• 定理 4 ：对于偶数 $n$ 且 $n \geq 4$，$\mu_s(F_{n,2}) = \frac{n - 2}{2}$。证明过程是通过定义一个图 $G \cong F_{n,2} \cup \fra