12、图论中的快速斜划分识别与分数图论研究

图论中的快速斜划分识别与分数图论研究

1. 快速斜划分识别算法

在图的研究中，斜割集的识别是一个重要问题。这里介绍一种能在 $O(n + m)$ 时间复杂度内完成的算法。

搜索过程如下：
- 若搜索结束，当 $H_u - (K_t ∪ R′) \neq \varnothing$ 时，在 $H_u - (K_t ∪ R′)$ 中的任意节点重新开始搜索；若 $H_u - (K_t ∪ R′) = \varnothing$，则终止搜索。这些修改能保持深度优先搜索 $O(n + m)$ 的运行时间。
- 搜索结束后，若 $K′ = H_s$，则所需的斜割集不存在；若 $K′ \neq H_s$，则集合 $K′$ 是一个割集，只需检查它是否包含在图 $G$ 的一个斜割集中。
- 若 $G[K′]$ 不连通，则 $K′$ 本身就是一个斜割集。
- 若 $K′$ 是斜割集的一部分，则 $K′$ 必须包含在其某个组件中。设 $J = N(K′) ∩ H_s$：
- 若 $J = \varnothing$，则所需的斜割集不存在。
- 若 $(K′ ∪ J) \neq H_s$，则 $(K′ ∪ J)$ 是所需的斜割集。
- 若 $(K′ ∪ J) = H_s$ 且 $|J| = 1$，则所需的斜割集不存在。
- 若 $|J| > 1$，则对于 $J$ 中的任意顶点 $v$，$K′ ∪ {v}$ 是所需的斜割集。

整个过程的运行时间为 $O(n + m)$。

下面用 mermaid 流程图展示该算法的主要步骤：