9、数学中的图论与组合问题研究

数学中的图论与组合问题研究

1. 多格骨牌、多菱形和多六边形的枚举

在平面图形的研究中，多格骨牌、多菱形和多六边形的铺砌问题是一个有趣的领域。不同类型的瓷砖（如 p4、p3、p6 瓷砖）在铺砌时会产生具有不同对称群的图案。
- p4 瓷砖铺砌的图案可能具有 p4g 或 p4m 对称群。
- p3 瓷砖铺砌的图案可能具有 p3m1、p31m、p6 或 p6m 对称群。
- p6 瓷砖铺砌的图案可能具有 p6m 对称群。

例如，某些对称的瓷砖在铺砌时，其自身的对称性会体现在铺砌图案中，但这并不意味着瓷砖就是铺砌图案的基本域。像 6 - 1 型 6 菱形和 4 - 4 型 4 六边形，它们自身具有一定的旋转或镜像对称性，在铺砌中这些对称性也存在于图案里，但它们不是基本域，而是其一部分才是相对于铺砌完整对称群的基本域。
然而，对称的瓷砖并不总是能产生具有相同对称性的铺砌。如 4 - 2 型 4 六边形的镜像对称就不是其铺砌图案的对称性，该铺砌具有 p3 对称群，且该 4 六边形是铺砌的基本域。还有 7 - 1 - 2 型 7 菱形，它有 3 重旋转对称性，但在相关铺砌中其 3 重中心不是旋转中心，此 7 菱形是铺砌的基本域。

这表明，要区分哪些瓷砖不是其相关铺砌的基本域，不能仅仅通过识别对称瓷砖来简单判断，需要从一开始就研究对于 p4g、p4m、p3m1、p31m 和 p6m 是基本域的多格骨牌、多菱形和多六边形。

2. 可解树的研究

2.1 问题引入

“熄灯谜题”通常在矩形网格上进行，网格中的单元格代表房间，初始时有些单元格亮着，有些熄灭。当切换一个单元格的开关时，该单元格及其相