21、图论中的几个重要定理与性质研究

图论中的几个重要定理与性质研究

1. 图结构与独立集相关性质

1.1 图 (G’) 与 (G^*) 的性质

在图论研究中，有两个图 (G’) 和 (G^*) 具有独特的性质。对于图 (G’)，其顶点划分表明，(G’) 中的独立集包含的顶点比例不超过 (1/(d + 1))。

而图 (G^ ) 是无三角形的。为了验证这一点，考虑三个顶点 (a = S_k^z)，(b = S_l^t)，(e = S_m^w)，其中 (k \leq l \leq m)。如果 (a) 和 (b) 在 (G^ ) 中通过一条边相连，那么有 (k < l) 且 (z_l = t_l)；同理，如果 (b) 和 (e) 相连，则 (l < m) 且 (t_l = w_l)。这就得出 (k < l < m) 且 (z_l = w_l)，从而意味着 (a) 和 (e) 不相连。

1.2 平面轴平行矩形图的性质

考虑平面上的轴平行矩形族 (S)，构建图 (G = (V, E))，其中顶点集 (V = S)，当两个矩形有一个不被其他矩形覆盖的公共点时，它们之间有一条边相连。图 (G^*) 也是以这种方式构建的。虽然图 (G) 可能包含三角形甚至与 (K_4) 同构的子图，但它不能有五个顶点的完全子图。

此外，可以将图 (G) 的边集 (E) 划分为两个子集 (E = E_1 \cup E_2)：
- 若矩形 (v_1) 和 (v_2) 的边界在四个点处相交，则边 ({v_1, v_2} \in E) 属于 (E_1)。
- 否则，边 ({v_1, v_2}) 属于 (E_2)。