solidity8miner的博客

本文综述了图同构及相关问题的研究进展，涵盖子空间问题、自同构群的确定、刚性图同构测试等核心开放问题。文章回顾了自1960年代以来的重要研究成果与关键算法，包括Hopcroft、Tarjan、Luks、Babai等学者的贡献，并通过mermaid流程图展示了研究脉络和实际应用路径。重点探讨了利用额外先验信息简化问题的策略、现有算法对特殊结构的依赖性以及在化学和计算机视觉中的应用。最后指出当前面临的挑战，如通用高效算法的缺失和复杂度瓶颈，展望未来在新领域如生物信息学中的发展方向。

本文研究了置换群中的多个核心算法问题，包括置换群中心的确定、受限图自同构、正规闭包与换位子群的计算，以及群的可解性和幂零性测试。文章介绍了相关算法及其时间复杂度，并总结了问题21至26的求解现状，其中部分问题已有高效算法，而双陪集划分与非传递子群问题仍为开放难题。通过流程图和实例分析，展示了算法设计思路，并展望了未来在复杂度分类、算法优化及图论等领域的应用拓展方向。

本文探讨了多个群论中的特殊问题及其多项式时间求解算法，涵盖在特定条件下置换群的交集计算、中心化子与中心的生成集求解。针对不同约束如正规化、p-群、F_b类群以及可达性条件，文章提出了相应的高效算法，并给出了详细的时间复杂度分析。通过循环图与自同构群的关系，构造了中心化子的直积结构并实现了表示矩阵的生成。最终总结了各问题的算法复杂度，展示了这些方法在密码学、编码理论等领域的应用潜力。

本文系统研究了一系列与图同构问题密切相关的群论问题，包括双陪集成员问题、群交问题、集合稳定子问题、另一个群中的中心化子问题以及受限图自同构问题。通过详细证明，揭示了这些问题之间的多项式时间等价性，并构建了完整的等价关系图谱。文章进一步探讨了可交换置换群交集这一特殊情况，证明其属于NP ∩ coNP，并给出了验证生成集的方法。最后，提出了若干未解决问题，特别是关于置换群是否可实现为多项式大小图的自同构群的开放问题，展望了未来研究方向。

本文深入探讨了图同构问题与群论之间的深刻联系，分析了特定类型图的同构复杂度，并引入前向连通性的概念以扩展可处理图的类别。通过将图同构问题转化为双陪集成员问题、群分解问题和分解数量问题，揭示了这些问题在代数结构上的等价性及其中间难度特性。文章还展示了双陪集理论在判断图同构与计算非同构图数量中的具体应用实例，最后展望了该领域未来的研究方向，包括算法优化及其他组合问题中的潜在应用。

本文深入探讨了置换群理论中的原始群及其相关算法，重点分析了具有阿贝尔基座的原始群的结构特性，并证明了其西罗子群指数的多项式上界。基于这些理论结果，介绍了用于F_b类群的集合稳定子算法（算法2和算法3），详细阐述了算法流程、正确性及多项式时间复杂度的理论依据。文章还讨论了算法在图同构、密码学和化学分子对称性分析中的应用场景，并提出了减少递归、优化数据结构和并行计算等优化思路。尽管常数因子较大限制了实际效率，但该研究为置换群问题提供了重要的理论基础和解决框架。

本文系统研究了置换群的结构与性质，重点探讨了本原置换群的基座结构及其极小正规子群的特性。通过分析基座作为极小正规子群的直积形式，揭示了其在阿贝尔与非阿贝尔情形下的自同构群结构，并结合全对角子群与稳定子群的关系，得出了本原群阶的上界估计。研究还涵盖了特征子群、共轭作用、正规化子等核心概念，为深入理解置换群的分类与内在对称性提供了理论基础。

本文研究了在特定群类 $F_b$ 中计算集稳定子的多项式时间算法，结合群论与图论方法，提出了一种基于最大非本原系和Sylow子群结构的有效算法。通过递归问题拆分、素数选择与生成元确定等关键步骤，克服了传统算法在处理复杂置换群时的局限性。文章详细阐述了算法设计思路、复杂度分析与正确性证明，并通过示例验证其可行性，为图的自同构群计算及相关领域提供了理论支持与实用工具。

本文系统研究了图同构测试与自同构群的性质。首先分析了三价图在O(n^4)时间内的同构测试方法，进而提出针对固定价图的多项式时间同构测试算法，并详细描述其步骤与复杂度。通过引入简单群、合成序列、截面和F_b类等群论概念，结合Jordan-Hölder定理与相关引理，证明了连通价为d的图的自同构群Aute(X)属于F_b类，其中b依赖于d。该结论为设计高效计算集态稳定子的算法提供了理论基础。最后总结了研究成果并展望了未来在算法优化与实际应用中的发展方向。

本文系统阐述了三价图同构测试的理论与算法，基于Hoffmann的命题和定理，利用简单锥图的自同构群及小工具构造方法，将三价图同构问题转化为可处理的子问题。通过分析不同边类型的子图结构，结合群论中的不可约序列与2-群性质，设计出可在O(n^4)时间内完成的同构测试算法。文章详细描述了确定子群B、构造A_e(X_{k+1})等关键步骤，并给出了复杂度分析、应用场景及改进思路，为图论中的同构问题提供了高效且可扩展的解决方案。

本文系统研究了置换群的不可约性问题，重点探讨了2-群在给定划分下的最大子群构造问题，并提出了多项式时间内的高效算法。通过引入完全不可约结构与合成序列，结合集稳定子计算与群交算法，将理论结果应用于简单二元锥图的自同构群求解。文章详细分析了各步骤的时间复杂度，给出了从基础群构造到实际图应用的完整流程，并通过具体案例说明算法执行过程。最后讨论了优化策略与未来研究方向，为群论与图论的交叉应用提供了有力的算法支持。

本文深入探讨了三价图同构测试与p-群算法的优化。通过引入非本原系统、受限同构小工具和改进的p-群计算方法，显著降低了算法时间复杂度。重点介绍了O(n³)的三价图同构测试新方法，涵盖非本原结构确定、合成序列构建、点稳定子计算及两个p-群交集的高效算法。实际案例表明，优化后的算法大幅提升了大规模图同构判断的效率，为图论与群论的理论研究及网络分析等应用领域提供了强有力的技术支持。

本文提出了一种在p-群中寻找集稳定子的新算法，利用p-群的可迁性结构，通过递归分解集合的方式将问题逐步简化。算法基于轨道分解与子群塔技术，结合引理与递归过程STABILIZE，有效计算集稳定子的生成集。理论分析表明，该算法在O(n^5 log_p(n))时间内完成，具有良好的多项式时间性能。文章详细阐述了操作步骤、复杂度分析、代码实现及优化建议，并探讨了其在密码学与组合数学中的应用前景。

本文深入解析了连通三价图和二叉锥图的自同构算法，提出了一种基于分层结构与群作用的多项式时间算法。通过将问题归约为2-群中的集态稳定子计算，系统阐述了从局部自同构逐步构建全局自同构的过程，并结合示例详细说明算法执行流程。针对原算法在生成集处理、集态稳定子计算和重复操作方面的低效问题，提出了优化策略，包括生成集筛选、高效群算法应用和缓存机制引入，显著提升了算法效率。文章最后分析了优化后的复杂度，展示了其在图同构判定中的应用潜力。

本文研究了图同构问题中的多项式时间算法，重点探讨了p-群中集合稳定子的高效计算方法，并提出了三种用于三价图和二度锥图的同构测试算法。通过构造Sylow p-子群、正则锥图及改进的树同构算法变体，实现了在多项式时间内确定集合稳定子。针对三价图，利用自同构群为T-群的性质，设计了基于边稳定的同构判定流程；其中最优算法达到O(n^4)时间复杂度。此外，相关技术被推广至更高价图及更广泛图类，展示了其普适性与应用潜力。

本文研究了对称群S_n的Sylow p-子群的p-步中心系列构造方法，针对C_p、直积P_1 × P_2和wreath积P_1 wr C_p等不同结构给出了具体的生成元构造方案，并通过映射h_j和指数g_{i,j}实现了递归构造。结合引理与推论，证明了所构造序列确实形成中心系列，且商群阶为p。进一步构建子群塔将任意p-群H嵌入Sylow p-子群P中，分析了上下部商群的指数性质，验证了H的(2, c·p)-可达性。文章提供了具体示例（如p3,5时的情形）并给出O(n^2)时间复杂度的算法实现，为p-群中集合

本文深入探讨了群论中p-群的基本性质及其与锥图自同构群之间的联系。内容涵盖p-群的定义、中心性质与中心列，Sylow p-子群的结构及其通过wreath积的构造方法，并介绍了非本原系的概念与判定算法。文章重点分析了寻找包含给定p-群的Sylow p-子群的递归算法及其时间复杂度，结合实例展示了算法执行流程。同时揭示了群论与图论在锥图和图同构测试中的深刻关联，总结了相关算法的应用价值，并对未来研究方向如密码学、编码理论及算法优化进行了展望。

本文探讨了概率算法在图的自同构群确定中的优势，相较于确定性算法具有更低的计算复杂度，具备实际应用价值。文章引入了锥图与正则锥图的概念，分析其结构特性，并研究了固定度锥图的自同构群结构，提出通过k-自同构和子群塔进行递归分析的方法。尽管在子群塔构建与成员测试方面仍存在挑战，但为高效同构测试和自同构群求解提供了理论基础。未来工作将聚焦于优化算法效率与完善群结构分析。

本文研究了图论与群论交叉领域的带标签图自同构问题及其在图同构测试中的应用，提出了基于子群塔的确定性与随机多项式时间算法。通过构建图序列与逐步稳定顶点类的方法，证明了相关自同构群的可访问性，并给出了详细的算法流程与复杂度分析。确定性算法具有明确的时间上界，而随机算法在期望运行时间上更优。文章还探讨了算法在图同构、群论研究中的应用及向带权图、有向图等方向的拓展可能性。

本文深入探讨了置换群算法的核心机制及其优化方法，重点分析了生成集与元素表示、基与基本轨道、Schreier向量与轨道计算等关键概念。通过引入强生成集和改进的筛选策略，显著提升了算法效率。文章详细描述了算法3至算法7的设计与实现，并结合定理与复杂度分析，展示了如何高效构造子群塔和求解群交集。此外，提出了可访问群的概念，为图的自同构等问题提供了强有力的理论支持和实际算法框架。

本文系统研究了图同构与置换群的相关理论及其相互关系。首先介绍了同构完全问题的基本概念与典型实例，探讨了图同构问题在计算复杂性中的地位。接着证明了图自同构群可表示为两个置换群的交，从而建立了群交问题与图同构问题之间的联系，并指出若群交问题可在多项式时间内解决，则图同构问题也属于P。随后重点研究了基于生成集的置换群表示方法，提出了高效的群成员测试与阶计算算法，并通过表示矩阵和相关算法实现了多项式时间内的群结构分析。最后讨论了该理论在密码学与网络分析中的实际应用，并展望了未来研究方向，包括逆命题的验证、算法优化及

本文深入探讨了群论与图同构问题之间的深刻联系，系统介绍了群同态、自同构、置换群、生成元、轨道与稳定子、直积等核心概念，并详细阐述了图自同构群与图同构问题在多项式时间内的等价性。通过六个关键问题的相互归约，证明了图同构存在性、带标签图同构、同构构造、自同构群生成、自同构群阶数及同构数量等问题的计算复杂性等价。文章还给出了各引理的详细证明，展示了理论推导的严谨性，并讨论了这些理论在密码学、化学和计算机科学等领域的实际应用，最后展望了算法优化、新应用场景和理论拓展的研究方向。

本文深入探讨了图同构问题与群论算法的理论基础及其相互关系。文章首先分析了存在性与计数问题在图同构中的等价性，指出其复杂性可能介于P与NP完全之间。随后介绍了群论算法的主要分类：适用于置换群和抽象群的算法，并重点讨论了Sims算法和陪集枚举技术的时间复杂度与实际挑战。通过基本群论知识的回顾，阐述了子群、陪集、正规子群、同态与自同构等核心概念，并揭示了图的自同构群在图同构判定中的关键作用。文中还提出了基于生成集的置换群信息收集算法，分析了典型群论算法的复杂度，并展示了其在密码学、化学等领域的应用前景与现存挑战。

本文探讨了图同构问题在理论与实际中的重要性，介绍了拓扑方法和群论方法在图同构测试中的应用，分析了其在计算复杂性中的地位。重点阐述了群论方法如何通过自同构群解决三价图和固定价图的同构问题，并讨论了图同构的代数推广及其相关群论问题的复杂性。文章还概述了P、NP、coNP等复杂度类的基本概念，指出了图同构作为潜在中等难度问题的独特性质，最后对未来研究方向进行了展望。