3、群论与图同构问题的深入探讨

群论与图同构问题的深入探讨

1. 群论基础概念

在群论中，有一些基础且重要的概念。首先，对于群 (G) 和子群 (I)，有 (G/I) 为 (G)，(G/G) 为群 (I)。

• 群同态与同构
  • 设 (G) 和 (G’) 是两个群，(h) 是从 (G) 到 (G’) 的映射。若对于所有 (g_1, g_2 \in G)，都有 (h(g_1g_2) = h(g_1)h(g_2))，则 (h) 是群同态。
  • 所有被映射到 (G’) 的单位元 (e’) 的 (G) 中的元素构成的集合 (K) 是 (G) 的正规子群，称为同态核。若 (K) 是平凡群 (I)，则 (h) 是同构。
  • 设 (H) 是 (G) 的正规子群，定义 (h(g) = Hg)，则 (h) 是从 (G) 到 (G/H) 的自然同态，其核为 (H)。并且，若 (h) 是从 (G) 到 (G’) 的同态且核为 (H)，则 (G/H) 与 (G’) 同构。
• 自同构与共轭
  • 从群 (G) 到自身的同构称为 (G) 的自同构。某些自同构通过共轭产生。
  • 设 (g) 是群 (G) 的固定元素，(h) 是 (G) 的任意元素，则 (h^g = g^{-1}hg) 是 (h) 在 (g) 下的共轭。共轭在固定元素下是一一映射，且是 (G) 的自同构。由群元素共轭诱导的自同构称为 (G) 的内自同构，所有内自同构构成的集合 (Inn(G)) 也是一个群。一般来说，内自同构并不涵盖群的所