19、置换群理论中的原始群与算法分析

置换群理论中的原始群与算法分析

1. 原始群与阿贝尔基座

在群论中，原始群是一类非常重要的群。当一个原始群 (G) 具有阿贝尔基座 (S(G)) 时，会呈现出一些特殊的性质。首先，(C_G(S(G))) 必定包含 (S(G)) 作为子群，这意味着基座没有平凡的中心化子。因此，某些命题对于这类群并不成立。

我们可以证明，具有阿贝尔基座的原始群 (G\in F_b) 必定包含一个西罗 (p -) 子群，其在 (G) 中的指数至多为 (n^c)，其中 (c) 是一个仅依赖于 (b) 的常数。具体论证过程如下：
- 设 (S(G)) 是原始群 (G) 的阿贝尔基座。由于 (S(G)) 是同构的简单阿贝尔群的直积，所以它是初等阿贝尔群，其阶为 (p^m)，其中 (p) 是素数。
- 因为 (S(G)) 是传递且自中心化的，所以它是正则的。因此，(G) 的次数 (n = p^m)，并且 (G_x) 通过共轭作用忠实作用在 (N) 上。
- 由此可知，(G_x) 同构于 (Aut(S(G)) = GL(m,p)) 的一个子群。

下面我们给出一个命题来进一步说明 (G_x) 与 (Aut(S(G))) 的关系：
命题 12 ：设 (G < S_n) 是具有阿贝尔基座 (S(G)) 的原始群。则 (S(G)) 是阶为 (p^m) 的初等阿贝尔群，(G) 的次数 (n = p^m)，并且 (G_x) 同构于 (Aut(S(G))) 的一个子群。
证明 ：根据定理 8，(S(G)) 是同构简单群 (T_1\times\cdots\times T_m) 的直积。由于 (S(G))