17、有限群集稳定子的多项式时间算法研究

有限群集稳定子的多项式时间算法研究

在群论和图论的研究中，确定图的自同构群以及群的集稳定子是重要的问题。本文将围绕在特定群类 (F_b) 中计算集稳定子的多项式时间算法展开详细讨论，涉及算法的设计思路、群论基础以及具体的实现步骤。

1. 群类 (F_b) 相关背景

在之前的研究中，我们给出了确定固定价图自同构群的基本算法，但该算法并不完整，因为尚未说明如何确定算法步骤 10 中出现的群的集稳定子。在相关研究中，我们发现群 (Aut(X)) 属于一类特殊的群，这类群具有一个合成列，其中相继的因子群的阶至多为 (b)（(b) 是仅依赖于图 (X) 的价的常数），我们将这类群记为 (F_b)。

如果一个群 (G) 属于 (F_b)，那么 (G) 的阶仅能被不大于 (b) 的素数整除。但需注意，若一个群 (G) 的阶的最大素因子为 (p)，并不意味着 (G) 属于 (F_p)。例如，Mathieu 群 (M_{11}) 的阶为 (7290 = 11\times5\times3^6\times2^4)，由于 (M_{11}) 是单群，它不属于 (F_{11})，尽管 11 是其阶的最大素因子。

2. 问题定义

我们要解决的问题是：给定一个群 (G = \langle K\rangle)（(K\subseteq S_n) 且 (G) 属于 (F_b)，(b) 为常数）以及一个子集 (Y\subseteq {1,\cdots,n})，找到 (G) 中 (Y) 的集稳定子 (G_Y) 的生成集。

3. 算法设计思路

设计的算法与之前章节的算法 2 有相似之处，但由于 (F_b) 类中的置换群结构比 (p -)