5、置换群算法的深入解析与优化

置换群算法的深入解析与优化

1. 生成集与元素表示

生成集 (K’) 具有特殊性质，群 (\langle K \rangle = \langle K’ \rangle) 中的每个元素都能唯一地表示为 (K’) 中生成元的短乘积形式。由于矩阵 (M) 中的每个元素 (\psi) 都能在多项式时间内由 (K) 中的元素和 (M) 中先前构造的元素得到，所以存在一个多项式长度的直线程序，能从 (K) 中的生成元计算出每个 (\psi)。这意味着，对于 (\langle K \rangle) 中的每个群元素，都存在一个多项式长度的直线程序来从 (K) 中的生成元计算它。尽管可能存在元素 (\alpha)，使得等于 (\alpha) 的 (K) 中元素的最短乘积长度为指数级，但总有一种有效的方法来计算该乘积。

2. 算法示例

以 (K = {(1,2,3), (1,2)(3,4)}) 为例，展示算法 2 和算法 3 构建群 (\langle K \rangle) 的表示矩阵 (M) 的主要阶段。
- 初始状态 ：队列 (Q = \langle(1,2,3); (1,2)(3,4)\rangle)，矩阵 (M) 初始为：

0 -
0 - -
0 -
0

其中“ - ”表示空。
- 筛选 ((1,2,3)) ：由于 (I_{(1,2,3)} = 2)，使得 (M_{1,2} = (1,2,3))。算法 3 添加对乘积 ((1,2,3)(1,2,3) = (1,3,2))