9、对称群Sylow p - 子群的中心系列构造与p - 群可达性分析

对称群Sylow p - 子群的中心系列构造与p - 群可达性分析

1. 引言

在之前的研究中，我们已经展示了如何高效地找到对称群 $S_n$ 中包含给定 $p$ - 群 $G$（阶为 $n$）的Sylow $p$ - 子群 $P$。接下来，我们将探讨如何构建一个子群塔，使得群 $G$ 被困在其中，并从 $P$ 出发实现 $(k, c)$ - 可达性。这一构造的目标是将在 $p$ - 群 $G$ 中寻找集合稳定子的问题简化为 $G$ 是对称群的Sylow $p$ - 子群的情况。

2. 中心系列构造问题的提出

我们面临的核心问题是：
给定对称群 $S_n$ 的一个阶为 $p^r$（$r > 0$）的Sylow $p$ - 子群 $P$，确定 $P$ 中的 $r$ 个元素 $\varphi_1, \cdots, \varphi_r$，使得群 $G^{(r - i)} = \langle \varphi_1, \cdots, \varphi_i \rangle$（$0 \leq i \leq r$）构成 $P$ 的一个 $p$ - 步中心系列。

3. 特殊情况的中心系列构造

• 情况一：$P = C_p$
  当 $P = C_p$，设 $\varphi = (1, 2, \cdots, p)$，则 $\varphi_i = \varphi$ 确定了 $P$ 的一个 $p$ - 步中心系列。因为 $\varphi$ 的阶为 $p$，满足中心系列的基本要求。
• 情况二：$P = P_1 \times P_2$