1、图同构与计算复杂性：代数方法的探索

图同构与计算复杂性：代数方法的探索

1. 图同构问题概述

图同构问题在实际和理论领域都备受关注。两个有限图同构意味着存在一个双射映射，能在保持邻接关系的前提下，将一个图的顶点集映射到另一个图的顶点集。确定两个给定图是否同构，是一个兼具实际应用和理论价值的问题。

在实际应用方面，图同构有着广泛的用途。例如在组合研究中，人们常常需要生成一个组合对象列表，确保每个对象仅出现一次。这通常分两个阶段进行：首先构建一个列表，使每个对象至少出现一次；然后删除重复项。由于这些对象往往自然对应于图，因此识别对象的重复出现就需要进行图同构测试。此外，组合设计、场景分析和化学文档等领域也经常会用到图同构。

理论上，图同构问题的复杂度状态未知。它显然属于NP问题，但目前既没有多项式时间的测试方法，也没有证据表明不存在这样的测试方法。而且，该问题的一些特性使其不太可能是NP完全问题，因此很有可能是一个中等难度的问题，即既不属于P类问题，也不是NP完全问题。

目前，解决图同构问题主要有两种主流方法：拓扑方法和群论方法。拓扑方法是将图嵌入到最小亏格的曲面上，然后将曲面（以及图）分割成平面组件。通过仔细研究可能的互连结构，将非零亏格曲面上图的同构测试简化为平面图的同构测试。这种方法引出了亏格层次结构：对于每个亏格g，存在一个次数为f(g)的多项式pg，使得嵌入到亏格为g的曲面上的图的同构测试最多可以在pg(n)步内完成，其中n是图的顶点数。需要注意的是，确定图的亏格问题难度相当，因为确定图亏格的算法所需时间与一个次数随图亏格增长的多项式成正比。

群论方法则是试图确定图的所有自同构群。可以证明，图同构测试在多项式时间内可归约为确定图的自同构群的生成元，并且存在小的生成元集合