24、图同构及相关问题研究

图同构及相关问题研究

1. 子空间问题（Problem 27）

子空间问题给定了一个关于线性子空间 (S < \mathbb{Z}_2^m) 的多项式时间成员测试，以及向量 (v_1, \cdots, v_k \in \mathbb{Z}_2^m)，满足 (\dim(\langle S, v_1, \cdots, v_k\rangle) = \dim(S) + k)，需要确定子空间 (S) 的维数。通常，像问题 27 中的子空间 (S)（或问题 26 中的子群 (H)）会被指定为组合结构（如图或矩阵）的自同构群。到目前为止，针对问题 27 的成功求解都利用了组合对象的特殊性质，因此无法进行通用化。

2. 与图同构相关的开放问题

• 额外先验信息简化图自同构群确定问题 ：给定一个图 (X)，要确定其自同构群 (Aut(X))，哪些关于 (Aut(X)) 的额外先验信息能简化这个问题呢？例如，额外信息可以是 (Aut(X)) 是初等阿贝尔群，或者某个顶点 (v) 的稳定子 (Aut_v(X)) 是已知的置换群 (G)。标记图自同构问题就是这个问题的一个已解决实例。
• 刚性图同构测试问题 ：刚性图是指只有平凡自同构的图，测试刚性图同构是一个开放问题。已知这个问题等价于识别刚性，但不清楚它是否是同构完全问题。而且，两个刚性图之间的同构是唯一的。

3. 相关研究的历史和进展

年份	作者	研究内容