21、群论问题的多项式时间等价性及特殊情况分析

群论问题的多项式时间等价性及特殊情况分析

1. 引言

在群论研究中，有一系列问题与图同构问题紧密相关，这些问题不仅在理论上具有重要意义，而且在实际应用中也有广泛的价值。本文将深入探讨这些群论问题，包括双陪集成员问题、群交问题、集合稳定子问题等，分析它们之间的多项式时间等价性，并研究一些特殊情况的复杂度。

2. 群论问题概述

2.1 双陪集成员问题的相关步骤

在解决双陪集成员问题时，有以下关键步骤：
- 步骤 (a) ：找到 $\tilde{i} \in V_i$ 使得 $i\tilde{i} = j$。若不存在这样的 $\tilde{i}$，则 $j$ 不在 $A_i$ 中。
- 步骤 (b) ：设 $X = \tilde{i}\tilde{i}^{-1}$（其中 $\tilde{i}$ 是在步骤 (a) 中找到的），那么 $j \in A_i$ 当且仅当 $X \in A(i + 1)B(i + 1)$。

这个归约是多项式时间的，因为最多测试 $n - i + 1$ 个乘积 $\pi_i\tilde{i}^{-1}$ 是否属于 $A(i + 1)B(i + 1)$。

2.2 交集问题

2.2.1 相关引理和定理

回顾相关引理，双陪集 $AB$ 中包含的 $A$ 的右陪集与 $B$ 中 $A \cap B$ 的右陪集之间存在一一对应关系。这一关系也反映在将双陪集和群交分别解释为一般同构和一般自同构上。

已经证明双陪集成员问题与群交问题是多项式时间等价的