8、群论中的 p - 群与锥图研究

群论中的 p - 群与锥图研究

1. 引言

在群论的研究中，p - 群和锥图的相关性质与结构是重要的研究内容。本文将深入探讨 p - 群的相关概念、性质，以及其与锥图自同构群之间的关系，同时介绍一些高效的计算技术和算法。

2. 相关基本概念与初步结论

• (k + 1) - 同构与群的关系 ：对于 X 和 X’，划分 (D_{k + 1}) 在 Z 上诱导出一个自同构群 (B^{(k + 1)}(Z))，它由所有尊重该划分的自同构组成。X 和 X’ 是 (k + 1) - 同构的，当且仅当 (B^{(k + 1)}(Z)) 的每个生成集至少包含一个交换 Z 中 X 和 X’ 分量的置换。并且，群 (B^{(k + 1)}) 可以像群 (A^{(k + 1)}) 一样被困在一个子群塔中。若 X 和 X’ 是度为 d 的锥图，困住 (B^{(k + 1)}) 的群 (H^{(j, t)}) 的指数至多为 (2(d!)^2)，这需要依次解决一个 (k + 2) - 同构问题来进行成员测试。
• 确定 (A^{(k)}) 的生成元 ：确定 (A^{(k)}) 的生成元涉及上述成员测试。在测试了 (A^{(k)}) 的每个生成元 (\tau) 的成员资格后，我们可以找到一个从 X 到 (X_n) 的 (k + 1) - 同构映射。根据引理 9，我们能得到 (A^{(k)}) 中的一个元素 (\varphi)，使得 (\varphi A^{(k + 1)}) 是商群 (A^{(k)}/A^{(k + 1)}) 的一个生成元，这些元素关于 k 的并集就是 (A^{(0)}) 的一个生成