12、关于p - 群中集稳定子的算法研究

关于p - 群中集稳定子的算法研究

1. 引言

在研究群论相关问题时，确定集合的集稳定子是一个重要的任务。对于某些算法，如算法1的效率，关键取决于步骤10中在2 - 群里确定集稳定子的操作。之前已经给出了在p - 群中寻找集稳定子的多项式时间算法，这里将基于新技术开发一种不同的方法。

2. 预备知识与基本思路

首先，我们考虑一个置换群(G < Sym(X))，它有轨道(A_1, \cdots, A_s)，(Y)是(X)的一个子集，我们的目标是确定(G)中(Y)的集稳定子(G_Y)。

定义(Y_i = Y \cap A_i)，(G^{(0)} = G)，(G^{(i)} = (G^{(i - 1)})_{Y_i})，(1 \leq i \leq s)。由于(G)稳定它的每个轨道，所以(G_Y = G^{(s)})。这样，我们就把寻找(G_Y)的问题转化为寻找较小集合(Y_i)的稳定子问题。

要分解集合(Y_i)，主要困难在于(G)在轨道(A_i)上是传递的。但如果存在(G)的一个子群(H)在(A_i)上是非传递的，我们就可以通过(H)的轨道来分解(Y_i)。不过，并非所有非传递子群(H)都有用，为了得到(G_Y)，我们不仅需要知道(H)中(Y)的集稳定子(H_Y)，还需要确定(G)中(H)的每个右陪集(H\pi)里(Y)的集稳定子((H\pi)_Y)。只有在(G)中指数较小的子群(H)才是有用的。

这里有一个重要引理：
引理4 ：设(G, H < S_n)，(\pi)是任意置换。如果((G\pi) \cap H)非空，那么它是(G \cap H)的一个右陪集。