20、图同构与群论问题的深入探讨

图同构与群论问题的深入探讨

一、图同构复杂度分析

在图论研究中，图同构问题一直是一个核心问题，其复杂度的确定对于理解P vs. NP问题有着重要的意义。我们先来看看特定类型图的同构测试复杂度。

对于固定价的图，我们可以证明确定其自同构群的问题属于P类问题。以价为4或5的图为例，确定其自同构群可能需要多达$O(n^{219})$步，其中$n$是图的顶点数，测试同构可能需要$O(n^{300})$步。不过，这些界限有望得到显著改善。

下面是相关常数的计算过程：
1. 推论5常数计算 ：推论5的常数$c_{cor. 5}$计算如下，$c_{cor. 5} = S((log_2(3))^2 + 3log_2(3))^{-1} \approx 14.5$，因为$log_2(3) \approx 1.585$。
2. 推论7常数计算 ：为确定推论7的常数，需要计算$C_{p,q}$的值，其中$p, q \in {2, 3}$。由推论6可知，$C_{p,q} = \frac{s’}{r}$，其中$r$是$p$模$q$的阶，$s’$由$pq \cdot r = 1 + qs’u$确定，且$u$不能被$q$整除。计算可得$C_{2,3} = 1$，$C_{3,2} = 3$，所以推论7的常数$C_{cor. 7} = 3 \cdot 3 \cdot log_2(3) \approx 14.25$。
3. 推论8常数计算 ：推论8的常数$c_{cor. 8} = max(c_{cor. 5}, C_{cor. 7}) \approx 14.5$。