7、图论中的概率算法与锥图自同构群分析

图论中的概率算法与锥图自同构群分析

在图论的研究中，我们常常会遇到各种复杂的问题，例如确定图的自同构群、判断图的同构性等。本文将深入探讨概率算法在确定图自同构群中的应用，以及锥图和正则锥图的自同构群结构。

1. 概率算法与确定性算法的比较

在确定图的自同构群 $Aut_G(X)$ 时，存在概率版本和确定性版本两种算法。概率版本在计算复杂度上表现出明显的优势。

计算步骤与复杂度分析
- 计算 $\sum_{i = 1}^{m - 1} h_i$ 需要 $O(m \cdot (k!)^2)$ 步。
- 根据推论 1，生成集合 $R$ 需要 $O(k! \cdot (\ln(k!) + \ln(2m)) \cdot n \cdot \log_2(k))$ 步。
- 筛选集合 $R$ 需要 $O(k! \cdot (\ln(k!) + \ln(2m)) \cdot m \cdot (k!)^2 \cdot (n + k^2))$ 步，其中群 $G$ 中的运算需要 $O(n)$ 步，判断 $G(i)$ 中元素是否属于 $G(i + 1)$ 需要 $O(k^2)$ 步。

由于筛选步骤在渐近意义上是主导步骤，且 $m$ 为 $O(n^2)$，因此时间 $T_1$ 为 $O(n^2 \cdot (k!)^3 \cdot k \cdot (n + k^2) \cdot \log_2(n - k))$。又因为 $T_2 = 2T_1$，所以可以得到时间界。

此外，预计需要筛选的置换数为 $2 \cdot k! \cdot (\ln(k!) + \ln(2m))$，根据推论 2，这需要 $O(n