10、图同构问题的多项式时间算法研究

图同构问题的多项式时间算法研究

1. p-群中集合稳定子的确定

在研究图同构问题时，p-群中集合稳定子的确定是一个重要的基础。下面我们将详细介绍如何高效地确定任意 p-群中的集合稳定子。

首先，考虑对称群的 Sylow p-子群中的集合稳定子。有如下引理：
设 (G < Sym(X)) 是群 (A < Sym(X_1)) 和 (B < Sym(X_2)) 的直积，(Y) 是 (X) 的子集，则 (G_Y = A_{Y\cap X_1}×B_{Y\cap X_2})。基于此引理，我们只需考虑传递的情况。

接下来，我们面临一个问题：
给定 (n = p^h) 次对称群的 Sylow p-子群 (P) 的生成元，以及置换域的子集 (Y)，确定 (P) 中 (Y) 的集合稳定子 (P_Y) 的生成元。

解决这个问题的思路如下：
- 考虑与 (P) 相关的锥图 (X = (V, E))，根据 (P) 的置换域中对应点是否在 (Y) 中，为每个叶子节点标记两种标签之一。
- 确定尊重这种标记的图自同构子群的生成元。除了最后一步，其他步骤都很直接，最后一步我们使用树同构算法的变体来完成。

树同构算法总结及修改：
设 (V_k) 是树（这里考虑 (X) 的 BFS 树）中距离根节点为 (k) 的顶点集合。从叶子节点到根节点，我们考虑每个集合 (V_k)，将以 (V_k) 中顶点为根的子树分类为同构类。对于 (V_k) 中的每个顶点 (v)，我们为其附加一个数字，用于标识以 (v) 为根的子树的同构类。具体操作如下：
- 对于有标记的叶子节点，分类很清晰。
- 设 (v)