6、图自同构、锥图与 p - 群相关算法研究

图自同构、锥图与 p - 群相关算法研究

在图论和群论的交叉领域，有两个关键问题推动了相关研究的发展：带标签图的自同构问题和锥图的同构问题。这些问题不仅为图同构的研究提供了新的视角，还催生了一系列有效的算法。本文将详细介绍这些问题以及相应的算法。

1. 带标签图自同构问题的提出

在设计图同构测试时，对顶点进行分类是一种自然的想法，其目的是减少可能的同构数量。例如，根据顶点的度（即与该顶点相连的边的数量）对顶点进行分类。显然，一个度为 (k) 的顶点不可能通过同构映射到度为 (j\neq k) 的顶点。然而，如果两个图都是正则图（即每个顶点的度都相同），那么这种顶点分类方法就无法提供有用的信息。

多年来，人们提出了许多复杂的顶点分类标准，但都未能解决一般的图同构问题。因此，研究一个“好”的顶点分类方案需要达到何种程度才能作为多项式时间同构测试的基础，成为了一个有趣的问题。这就引出了带标签图自同构问题：

设 (X = (V, E)) 是一个具有 (n) 个顶点的图，并且 (V) 被划分为 (C_1, \cdots, C_s) 类，形成划分 (C)，使得 (|C_i| \leq k)，其中 (k) 是一个与 (n) 无关的常数。找到 (X) 的所有自同构，这些自同构能保持 (C_i) 类的集合不变，即找到 (Aut_C(X) = { \alpha \in Aut(X) | (\forall i \leq s)(\forall x \in C_i)(x^{\alpha} \in C_i) })，这是 (X) 的自同构子群，它尊重划分 (C)。

为了说明这个问题与顶点分类的关系，我们设 (X) 是两个要测试同构的连通图的不相交并集，并且假设划分 (C