23、置换群相关问题的算法研究

置换群相关问题的算法研究

1. 置换群中心的确定

在处理置换群相关问题时，确定置换群的中心是一个重要的研究方向。对于置换群 (G < S_n)，我们可以利用 (C_{S_n}(G)) 对 (G) 进行正规化操作，即对于所有 (\sigma \in C_{S_n}(G))，有 (\sigma G = G\sigma)。我们可以使用算法 1 来求 (C_{S_n}(G)) 与 (G) 的交集，从而得到 (G) 的中心。

根据相关命题，我们有如下结论：
命题 6（Hoffmann）：设 (G < S_n) 是由置换集合 (K) 生成的 (n) 次置换群，那么我们可以在 (O(n^3 \cdot |K| + n^6)) 步内确定 (C_G(G))（(G) 的中心）的生成集。

2. 自同构限制问题

考虑受限图自同构这一特殊问题：给定图 (X = (V, E)) 以及 (Sym(V)) 的一个 Sylow (p -) 子群 (G)（(p) 为固定素数），确定 (X) 的所有同时属于 (G) 的自同构构成的群 (H)。

由于 (G) 可以表示为一个 (p) 次正则（有向）锥图 (X_G) 的自同构群，我们可以将 (X) 和 (X_G) 叠加得到新图 (Y)。那么 (Aut(Y)) 中 (X_G) 根的点态稳定子就是群 (H)，可以使用相关技术来确定 (H)。

示例 9：给定 (S_8) 的 Sylow (2 -) 子群 (G = \langle(1, 3), (5, 6), (1, 2)(3, 4)\rangle) 和图 (K_{3,3} = X = ({1, \cdots, 6}, {(1, 4), (1,