15、三价图同构测试的理论与算法解析

三价图同构测试的理论与算法解析

1. 引言

在图论领域，图的同构测试是一个重要的研究课题。对于三价图（每个顶点的度数为 3 的图）的同构测试，本文将详细介绍相关的理论和算法，特别是如何利用简单锥图的自同构群来解决三价图同构问题。

2. 简单锥图的自同构群

对于一个具有 n 个顶点的简单锥图 X，存在一个重要的命题：
- 命题 6（Hoffmann） ：可以在 $O(n^3)$ 步内确定 $Aut_v(X)$（固定根顶点 v 的 X 的所有自同构群）关于由底层树定义的不可约结构的不可约序列。当 X 的交叉边被标记时，该命题的界限仍然成立。

3. 三价图同构的小工具构造

为了将定理 6 应用于确定连通三价图 X 的 $Aut_0(X)$ 问题，需要设计一种机制，将在 $Aut_e(X_k)$ 中找到可扩展为 $Aut_e(X_{k + 1})$ 中的自同构的所有自同构子群 B 的问题，转化为确定简单锥图 $Aut_v(Y)$ 的问题。

3.1 叶图价为 2 的锥图转化

考虑叶图价为 2 的锥图 X，计划通过抽象意义上的同构小工具将其转化为简单锥图。具体构造如下：
- 设 X 的底层树 T 的高度为 m，构造的简单锥图 $X_2$ 的底层树 $T_2$ 的高度为 $m + 1$，$X_2$ 的顶点数约为 X 的两倍。
- 将 T 的顶点 v 与 $T_2$ 的内部顶点 $v’$ 建立一一对应，保持树结构。对于 X 的交叉边 $(u, v)$，设 $u_1, u_2$ 和 $v_1, v_2$ 分别是 $u’$ 和 $v’$ 的儿