2、图同构与群论算法的深入解析

图同构与群论算法的深入解析

1. 存在性问题与计数问题

在处理许多存在性问题时，往往会自然地关联到计数问题。例如，可满足性的计数问题是确定命题公式 $F$ 中文字的不同赋值数量，这些赋值能使 $F$ 满足。显然，如果 $F$ 不可满足，那么这个数量为零。图同构的计数问题则是确定两个图之间的同构数量。

有猜想认为，对于 NP 完全问题，存在性问题比相关的计数问题更容易。然而，对于图同构问题，计数和存在性问题具有相同的难度。也就是说，测试两个图的同构性在多项式意义上等同于计算图之间的同构数量。这一事实被一些作者视为图同构不太可能是 NP 完全问题的技术证据。虽然任意图的同构测试最终可能被证明属于 $P$ 类，但我们怀疑它既不属于 $P$ 类也不是 NP 完全问题。因此，研究图同构测试复杂性的一个理论动机是它可能是一个具有中等难度的问题。

2. 群论算法

群论算法大致可分为两类：适用于（适当指定的）置换群的算法，以及由生成元和它们满足的关系表示的抽象群的算法。当然，也有一些算法结合了这两类方法。我们主要关注有限置换群的算法。所有我们考虑的群论问题都有算法解决方案，尽管其中一些在计算上似乎难以处理。而对于抽象群，许多问题不仅难以处理，而且是绝对不可判定的，例如，一个有限表示的抽象群是否具有有限阶是递归不可判定的。

许多群论算法已经被广泛知晓和使用多年，但在大多数情况下，它们的渐近时间复杂度尚未得到正式分析。部分原因可能是计算群论中研究的问题具有极高的个体性。例如，一个算法可能是为研究一个固定的简单群而设计的，并不适用于所有简单群，因此分析其渐近行为可能没有意义。此外，在许多群论应用中，空间复杂度通常比渐近时间复杂度更关键。