14、置换群的不可约性问题及相关算法分析

置换群的不可约性问题及相关算法分析

1. 引言

在群论和图论的研究中，置换群的不可约性问题是一个重要的研究方向。它不仅在理论上具有重要意义，还在图的自同构问题等实际应用中发挥着关键作用。本文将详细探讨置换群的不可约性问题，特别是 2 - 群的不可约性问题，并介绍相关的算法和其在简单二元锥图自同构问题中的应用。

2. 置换群的基本结论

设 (G, H \leq Sym(X)) 为 (n) 次的 (p) - 群。给定两个群的完全不可约结构和不可约序列，以及 (\alpha \in Sym(X)×Sym(X))，则 (J((G×H)^{\alpha},X)) 可以在 (O(n^3)) 步内确定。由此可得推论：给定 (G) 和 (H) 的完全不可约结构和不可约序列，那么 (G \wr H) 的不可约序列可以在 (O(n^5)) 步内确定。

算法 3 可以很容易地修改以执行上述算法 2 中 STABILIZE 过程的工作，即计算集稳定子。通过利用函数 (J) 和 (S_{\gamma}) 递归规则的强相似性，只需改变算法 3 中第 31 - 37 行的叶子处理部分。新的叶子处理由于递归基情况的规则更简单而变得更简单：
[S_{\gamma}(G^{\pi},{v}) = G^{\pi}]
当且仅当 (v \in Y) 时 (v^{\pi} \in Y)（当然，前提是 (G) 固定 (v)）。当访问叶子 (v) 时，必须为 (R) 中（最多 (n) 个）每个元素计算 (w = v^{\pi})。如果 (v) 在 (Y) 中但 (w) 不在，或者反之，则必须标记，否则不需要进一步处理。这总共需要 (O(n)) 步。如果 (G) 固定 (x)，则 (S_{\gam