18、置换群的结构与性质研究

置换群的结构与性质研究

1. 基本概念与定理

在研究置换群时，有一些重要的概念和定理。首先，设 (N) 是 (G < Sym(X)) 的正则正规子群，(A) 是由 (G) 中 (x) 的稳定子群 (G_x) 中的元素共轭诱导出的 (N) 的自同构群。那么 (G_x) 作为 (X - {x}) 上的置换群同构于 (A) 作为 (N - {0^*}) 上的置换群。

证明过程如下：因为 (N) 是正则的，(y \in X - {x}) 与 (\pi \in N - {0^*})（其中 (x^{\pi}=y)）之间的对应是双射。需要证明如果 (\sigma \in G_x)，(y^{\sigma}=z) 且 (y \neq x)，那么 (\pi^{\sigma}=\lambda)，其中 (x^{\pi}=y) 且 (x^{\lambda}=z)。现在 (x^{\sigma^{-1}\pi\sigma}=x^{\pi\sigma}=y^{\sigma}=z)。由正规性，(\pi^{\sigma}=\lambda \in N)。因为 (x^{\lambda}=z) 且 (N) 是正则的，所以 (\lambda = \pi)。

2. 本原群的基座

对于本原群 (G)，可以通过将群 (G) 或点稳定子群 (G_x) 嵌入到 (G) 的某个合适的正规子群 (N) 的自同构群中，并利用 (Aut(N)) 的特殊性质，来证明大的 Sylow (p -) 子群的存在性。这里重点研究由 (G) 的所有极小正规子群生成的正规子群 (S(G))，它被称为 (G) 的基座，具有许多重要性质。

• 特征子群 ：