4、图同构与置换群相关问题研究

图同构与置换群相关问题研究

1. 同构完全问题概述

在图论和组合数学领域，存在一类同构完全问题，即与图同构在多项式时间内等价的问题。问题2到问题8就是这类问题的典型例子，并且已知的同构完全问题数量还不少。一般来说，除了上述这些问题，其他同构完全问题大多是特定图类（如自补图、弦图等）的同构问题，或者是代数、组合结构（如半群、关联方案等）的同构问题。

问题4是一个性质不同的同构完全问题，它为我们研究同构问题提供了新的视角。特别是定理4及其推论，能让我们更深入地理解同构的本质。

而问题6，即与图同构相关的计数问题，其同构完全性尤为引人关注。通常认为，与NP完全存在性问题相关的计数问题不在NP中。因此，问题6的同构完全性常被视为图同构不是NP完全问题的证据。如果图同构既不在P中也不是NP完全问题，那么它与相关计数问题的这种等价性可能是这类中等难度问题的一个特征。

2. 图同构与群交的关系

此部分将证明，若存在求解置换群交问题的多项式时间算法，那么也存在求解图同构问题的多项式时间算法。具体来说，我们会证明任何图的自同构群都是两个已知生成集的置换群的交。

设图(X = (V, E))，其顶点集(V = {1, \cdots, n})，图(X)的自同构群(Aut(X))是(S_n)的子群。我们通过让群作用于所有无序对((i, j))（(1 \leq i, j \leq n)，(i \neq j)）的集合，为(S_n)构造一个新的表示。定义群同构为：(S_n)中的(\sigma)对应新置换域上的置换(\sigma’)，满足((i, j)^{\sigma’} = (i^{\sigma}, j^{\sigma}))。用(S_n’)表示作