13、图同构测试与p - 群算法优化

图同构测试与p - 群算法优化

在图论和群论的研究中，图同构测试是一个重要的问题，特别是对于三价图的同构测试。同时，p - 群的相关算法也在不断发展和优化。本文将深入探讨三价图同构测试以及p - 群算法的改进。

基本概念与初步结论

首先考虑一个度为n的非传递p - 群G = ，其轨道为A1, …, As 。假设|K|为O(n²)，设mi为轨道Ai的长度。那么，对Y ∩ Ai的稳定化操作所需步骤不超过T(mi, n, p)，时间复杂度为O(mi²·n⁴·log²(mi))。由于∑mi² ≤ n² ，我们可以得到一些重要的结论。

对于度为n的p - 群G，Y在G中的集稳定子的生成集可以在O(|K|·n² + n⁵·logp(n))步内确定。这一结论的证明基于在O(|K|·n² + p²·n⁴)步内可以找到G的一个O(n²)大小的生成集，结合相关引理得出。

将定理3应用到之前的结果中，我们得到了以下改进：
- 推论6 ：对于具有n个顶点的连通三价图X，Aut(X)的生成元可以在O(n¹⁵·log(n))步内找到。
- 推论7 ：对于具有n个顶点和根v的二元锥图X，Autv(X)的生成元可以在O(n¹⁵·log(n))步内找到。

这意味着，特别地，三价图的同构测试可以在O(n¹⁵·log²(n))步内完成。具体做法是先将图拆分为连通分量，然后使用推论6和之前的结果将这些分量分类为同构类。

O(n⁴)的三价图同构测试

接下来，我们将开发一个O(n⁴)的三价图同构测试方法。更确切地说，我们将给出一个O(n³)的方法