[DP] 51Nod 1597 有限背包计数问题

最新推荐文章于 2022-06-02 20:21:08 发布

原创最新推荐文章于 2022-06-02 20:21:08 发布 · 426 阅读

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本文介绍了一种解决背包问题的有效算法，通过将物品分为两组，分别采用无限背包和多重背包的处理方式，并利用按模分类优化减少复杂度，最终达到O(n√n)的时间复杂度。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

很妙的题。考虑到大于 $\sqrt n$ 的物品，取不到数量上限就一定超出背包大小了，就可以看成无限背包的问题。且取的物品总数一定小于 $\sqrt n$ 。所以就可以 $n\sqrt n$ DP搞了。
而 $\sqrt n$ 之内的物品，直接看成一般的多重背包问题，用按模分类的方法优化，可以去掉个数的复杂度，为 $n \sqrt n$ .
两半求好后统计一下即可。
所以总复杂度 $O(n \sqrt n)$

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn=100005,MOD=23333333;
int n,m,f1[maxn],sum[maxn],ans,f[330][maxn],f2[maxn];
int main(){
    freopen("51nod1597.in","r",stdin);
    freopen("51nod1597.out","w",stdout);
    scanf("%d",&n); m=sqrt(n);
    f1[0]=1;
    for(int i=1;i<=m;i++)
     for(int j=0;j<=i-1;j++){
        sum[0]=f1[j];
        for(int k=1;j+k*i<=n;k++) sum[k]=(sum[k-1]+f1[j+k*i])%MOD, (f1[j+k*i]+=sum[k-1]-(k-i-1>=0?sum[k-i-1]:0))%=MOD;
     }
    f[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=m;i++)
     for(int j=i*(m+1);j<=n;j++)
      (f[i][j]+=f[i][j-i]+f[i-1][j-(m+1)])%=MOD; 
    f2[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
     for(int j=1;j<=m;j++) (f2[i]+=f[j][i])%=MOD;
    for(int i=0;i<=n;i++) (ans+=(LL)f1[i]*f2[n-i]%MOD)%=MOD;
    printf("%d\n",(ans+MOD)%MOD);
    return 0;
}