背包问题基础模型深度总结-文长慎入（01背包，完全背包，多重背包）

最新推荐文章于 2025-04-08 21:23:11 发布
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分类专栏： DP-线性dp-区间dp
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本文深入探讨背包问题的基础模型，包括0-1背包、完全背包和多重背包。详细阐述了各类背包问题的状态定义、递推关系、优化方法，并介绍了如何通过二进制优化降低时间复杂度。此外，文章还讨论了混合背包问题的解决策略，是理解背包问题的绝佳资源。

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先等一下，字多预警，密集恐惧症慎入，喂，你，就是你，小板凳搬好了吗，站久了可是会腿酸的

无节操地王婆卖瓜一下， 本文 深度好文

目录

先扯两句

0-1背包

其它类似的状态定义

1

2

小结

3  记忆化搜索

滚动数组（优化空间复杂度）

初始化

完全背包

递推关系

优化时间

滚动数组

简单有效的常数优化

多重背包

状态转移

转化为01背包问题

二进制优化

可行性问题

混合三种背包问题

最后再扯两句

 

 

先扯两句

本篇博文中的数组默认都从1开始。

题目说扯2句，那上一句还不够加上这一句应该够了吧。

0-1背包

之前写过一个0-1背包的博客，总结得还是比较清楚。0-1背包总结

0-1背包是所有背包问题的基础，在0-1背包的基础上有许多变体，许多背包问题也是由它引申而来的，所以很重要（貌似这句话才是重点）

定义dp[i][j]为前i种物品重量恰好为j的最大价值 w[i]为重量 c[i]为价值,则：

dp[0][j]=0
dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i])

也很好理解，分别对应当前物品不取和取两种状态

当然这个状态要注意j-w[i]<0时，dp[i][j]只能转移到dp[i-1][j]

其它类似的状态定义

1

定义dp[i][j]为前i件物品重量不超过j的最大价值

dp[i][j]=\left\{\begin{matrix} dp[i-1][j] & j<w[i] & & & & & & & & \\ max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]) & & & & & & & & & \end{matrix}\right.

咦，怎么看起来跟之前的转移一模一样啊，但是这两个都是对的_(:з」∠)_

区别在于初始化的不同处理 这里先卖个关子，后面马上说 qwq

2

定义dp[i][j]为从第i个物品开始挑选重量小于j的最大价值

dp[n+1][j]=0

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一、.0/1背包问题： 问题描述： 有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的重量是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的重量总和不超过背包容量，且价值总和最大。 状态方程： 用f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}。
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