[DP] 计蒜客 2017 NOIP模拟赛（二）Day2 T2.紫色百合

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本文介绍了一种使用动态规划(O(n√n))的方法来解决一个特定的组合数学问题：从1到n的整数中选取若干数使得其和为P的所有可能方案的数量。通过定义状态f[i][j]表示取前i个数且总和为j的方案数量，并通过转移方程进行迭代计算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

不难发现，一个集合S的权值即等于 $\prod_{x \in S}(x+1)$
所以题目转化成 $1,2,3,...,n$ 个数中取若干个数加和为 $P$ 的方案数。
这个可以 $O(n\sqrt n)$ 的 $DP$ ，比较经典：
$f[i][j]$ 表示取了i个数，加和为的方案，转移时考虑把所有数加1，或新取一个数1即可。

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=100005,MOD=998244353;
int n,m,f[450][maxn],ans;
int main(){
    freopen("B.in","r",stdin);
    freopen("B.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&m); n=min(n,m); int sqrtm=sqrt(m*2)+1;
    f[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=sqrtm;i++)
     for(int j=i;j<=m;j++){
        (f[i][j]+=f[i][j-i]+f[i-1][j-i])%=MOD;
        if(j>=n+1) (f[i][j]-=f[i-1][j-(n+1)])%=MOD;
     }
    for(int i=1;i<=sqrtm;i++) ans=(ans+f[i][m])%MOD;
    printf("%d\n",(ans+MOD)%MOD);
}