51nod 1201[整数划分] 1259[整数划分V2] 1597 [有限背包计数问题]

因为觉得这三题差不多，思路有相同的地方也有不同的地方，挺有趣的，所以放在一起。

51nod 1201整数划分：

题目大意：

给出n，将n分为1-n中若干个不同的数的和，求方案数，模一个被模烂的质数。(1<=n<=50000)

题解：

每个数不同，那么和最小的情况就是1,2,3…，
假设是1-i的和，那么就有$i*(i+1)/2<=n,i<=\sqrt{2n}$
所以最多有$\sqrt{2n}$个数。
于是可以dp。
设$f_{i,j},g_{i,j}$分别表示现在已经有了i个不同的数，和为j，f表示方案数，g表示最小的数大于1的方案数。

转移显然有：
$f_{i,j} = [j>0]*g_{i-1,j-1}+[j>=i]*f_{i,j-i}$
$g_{i,j}=f_{i-1,j-i}$

所以转移可以简化为：
$f_{i,j}=[j>=i]*(f_{i-1,j-i}+f_{i,j-i})$

时间复杂度:$O(n\sqrt n)$

Code:

#include<cmath>
#include<cstdio>
#define fo(i, x, y) for(int i = x; i <= y; i ++)
using namespace std;

const int mo = 1e9 + 7;

int n, m, ans, o, f[2][50001];

int main() {
    scanf("%d", &n); m = sqrt(2.0 * n) + 1;
    if(m > n) m = n;
    f[0][0] = 1;
    fo(i, 1, m) {
        o = !o;
        f[o][0] = 0;
        int nn = i * (i - 1) / 2;
        fo(j, 1, nn - 1) f[o][j] = 0;
        fo(j, nn, n) f[o][j] = (f[o][j - i] + f[!o][j - i]) % mo;
        ans = (ans + f[o][n]) % mo;
    }
    printf("%d", ans);
}

51nod 1259 整数划分V2:

题目大意：

给出n，将n分为1-n中若干个数的和，求方案数，模一个被模烂的质数。

题解：

这是我们发现数可以重复了，那么最多有n个数，于是刚才那个dp挂了。

但是它可以分块，设$m=\sqrt n$。

对于前m个数，暴力无限背包，这一部分的复杂度是$O(n\sqrt n)$

对于第m+1个数到第n个数，发现最多用$\sqrt n$个，所以有可以上之前的dp，转移更简单，因为不用考虑重复。

设$f_{i,j}$表示现在已经有了i个数，和为j的方案数。

$f_{i,j} = [j>0]*f_{i-1,j-1}+[j>=i]*f_{i,j-i}$。

时间复杂度：$O(n\sqrt n)$

Code:

#include<cmath>
#include<cstdio>
#define fo(i, x, y) for(int i = x; i <= y; i ++)
using namespace std;

const int mo = 1e9 + 7;

int n, m, o, ans, f[2][50001];

int main() {
    scanf("%d", &n); m = sqrt(n * 1.0);
    f[o][0] = 1;
    fo(i, 1, m) {
        o = !o;
        fo(j, 0, i - 1) f[o][j] = f[!o][j];
        fo(j, i, n) f[o][j] = (f[o][j - i] + f[!o][j]) % mo;
    }
    ans = f[o][n];
    fo(i, 1, m) {
        o = !o;
        fo(j, 0, n) {
            f[o][j] = 0;
            if(j > m) f[o][j] = f[!o][j - (m + 1)];
            if(j >= i) f[o][j] = (f[o][j] + f[o][j - i]) % mo;
        }
        ans = (ans + f[o][n]) % mo;
    }
    printf("%d", ans);
}

51nod 1597 有限背包计数问题

题目大意：

给出一个n，你有n种物品，第i种物品的体积为i，有i个，背包大小为n，求装满这个背包的方案数。

题解：

也是分块。
对于前$\sqrt n$种物品，暴力多重背包。
对于第$\sqrt n+1$种物品到第n种物品，直接用整数划分V2后面的dp即可。

时间复杂度：$O(n\sqrt n)$

Code:

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define fo(i, x, y) for(int i = x; i <= y; i ++)
#define fd(i, x, y) for(int i = x; i >= y; i --)
using namespace std;

const int N = 100005;

int n, m, o, f[2][N], g[2][N];

const int mo = 23333333;

int main() {
    scanf("%d", &n); m = sqrt(n * 1.0);
    f[o][0] = 1;
    fo(i, 1, m) {
        o = !o; memset(f[o], 0, sizeof(f[o]));
        fo(j, 0, i - 1) {
            int sum = 0;
            fo(k, 0, (n - j) / i) {
                sum += f[!o][k * i + j];
                sum = (sum + mo) % mo;
                f[o][k * i + j] = (f[o][k * i + j] + sum) % mo;
                if(k >= i) sum -= f[!o][(k - i) * i + j];
            }
        }
    }
    int sum = f[o][n];
    fo(i, 1, m) {
        o = !o;
        fo(j, 0, n) {
            f[o][j] = 0;
            if(j >= (m + 1)) f[o][j] = f[!o][j - (m + 1)];
            if(j >= i) f[o][j] = (f[o][j] + f[o][j - i]) % mo;
        }
        sum = (sum + f[o][n]) % mo;
    }
    printf("%d", sum);
}