51nod1597 有限背包计数问题[DP][分类讨论][前缀和]

本文介绍了如何解决51nod1597题目的有限背包计数问题,通过将问题拆分为两部分并应用动态规划(DP)和前缀和优化算法,将时间复杂度降低。题目要求在背包大小为n的情况下,利用不同大小的物品(每种大小有相应数量)来计算装满背包的不同方案数。通过分析和算法设计,确保在处理完全背包部分时避免时间超限,并解释了算法的正确性以及易错点的注意事项。

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有限背包计数问题
SkyDec (命题人)
基准时间限制:2.333 秒 空间限制:131072 KB 分值: 160
你有一个大小为n的背包,你有n种物品,第i种物品的大小为i,且有i个,求装满这个背包的方案数有多少
两种方案不同当且仅当存在至少一个数i满足第i种物品使用的数量不同

Input
第一行一个正整数n
1<=n<=10^5
Output
一个非负整数表示答案,你需要将答案对23333333取模
Input示例
3
Output示例
2

题意:我觉得上面已经非常简洁了。
分析:这道题显然很容易想到O(N^2)的算法,关键是怎么优化?
类比上一道题(寿司晚宴),我们可以考虑把不同的问题拆分开再用乘法原理合并的方式,这里我们可以把数拆成根号n以下的数和以上的数(可以向上或向下取整,甚至可以继续变,不过会影响时间复杂度。)
首先考虑以下的数,则这些数不能全部填满n,问题就转化为有个数的背包问题,可以用前缀和优化到个数v即(根号n)v,具体实现就是把要被加的位置的值(即对I同余的位置)存着,然后一边走一边更新前缀和(加数或把不能取到的减去);
然后考虑以下的数,是完全背包,但是会T,这个时候需要对完全背包做一个优化,等于是想象一个i个数,和为j的序列,每一次可以对序列进行两种操作,要么给每个数加1,要么增加一个基数(比根号n大1的数),为什么基数要大1呢,因为不然的话根据根号n的定义可以知道,填不满orz。
为什么这个算法是正确的呢,因为相对大小不变,然后每次增加又是一种新的操作,最后在不同时间完全相同的两种状态一定不会重复,又一直有增加改变操作所以也一定不会以遗漏!

#include<iostream>
#include<cstdio>
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