伯努利数(Bernoulli)——学习笔记

最新推荐文章于 2025-02-01 16:47:00 发布

Lynstery

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伯努利数( $Bernoulli$ )

B 0 = 1 B 1 = - 1 2 B 2 = 1 6 B 3 = 0 B 4 = 1 30 . . .

$B_0=1\ B_1=- \frac 1 2\ B_2=\frac 1 6\ B_3=0\ B_4=\frac 1 {30}...$
可以从下式得到：

B 0 = 1, \sum k = 0 n B k (n + 1 k) = 0 (n > 0)

$B_0=1,\quad \sum_{k=0}^n B_k{n+1 \choose k}=0 \ (n>0)$
变形一下：

\sum k = 0 n (n + 1 k) B k = 0 \sum k = 0 n - 1 (n k) B k = 0 \sum k = 0 n (n k) B k = B n (n > 1)

$\sum_{k=0}^n {n+1 \choose k} B_k=0 \quad \sum_{k=0}^{n-1}{n \choose k} B_k=0 \\ \sum_{k=0}^n {n \choose k} B_k=B_n \ (n>1)$
对第三个式子用指数型生成函数，注意到等号左边相当与

{Bi} { B i } $\{B_i\}$ 的生成函数与

{1} { 1 } $\{1\}$ 的生成函数相乘的系数：

B^(z) e z = B^(z) + z B^(z) = z e z - 1

$\hat B(z) e^z = \hat B(z) + z \\ \hat B(z) = \frac{z}{e^z-1}$

右边加 $z$ 是因为 $n=1$ 的那项要补上。

这样能得到伯努利数的生成函数定义： $\frac {x}{e^x-1}=\sum_{i=0}^{\infty} \frac {B_i}{i!}x^i$ 。

它能用来求自然数的幂和：

S m (n) = 0 m + 1 m + . . . + (n - 1) m S m (n) = 1 m + 1 \sum k = 0 m (m + 1 k) B k n m + 1 - k

$S_m(n)=0^m+1^m+...+(n-1)^m \\ S_m(n)=\frac 1 {m+1} \sum_{k=0}^m {m+1\choose k} B_k n^{m+1-k}\\$

注意 $S_m(n)$ 中把最后一个去掉了，这是为了让式子好看一点…

大概是这么得到的：

S^t (z) = \sum i = 0 \infty (\sum k = 0 n - 1 k i) z i i ! = \sum k = 0 n - 1 \sum i = 0 \infty k i z i i ! = \sum k = 0 n - 1 e k z = e n z - 1 e z - 1 S^t (z) = B^(z) e n z - 1 z

$\hat S_t(z)= \sum_{i=0}^{\infty} (\sum_{k=0}^{n-1}k^i) \frac {z_i}{i!}=\sum_{k=0}^{n-1} \sum_{i=0}^{\infty} k^i \frac{z^i}{i!} \\ =\sum_{k=0}^{n-1} e^{kz} = \frac{e^{nz}-1}{e^z-1} \\ \hat S_t(z) = \hat B(z) \frac{e^{nz}-1}{z} \\$
把最后那个式子化开，变形化简一下就能得到了。

伯努比数的求法，可以直接通过 $\sum_{k=0}^n B_k{n+1 \choose k}=0$ , $O(m^2)$ 递推得到，范围大时就要用 $\frac {x}{e^x-1}$ ，多项式求逆算得。

模板题：51nod1228 序列求和

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL maxn=2010,P=1000000007;
LL n,inv[maxn],fac[maxn],fac_inv[maxn],B[maxn],ans,pw_n[maxn];
int m,_test;
LL C(int n,int m){
  return fac[n]*fac_inv[m]%P*fac_inv[n-m]%P;
}
int main(){
  freopen("51nod1228.in","r",stdin);
  freopen("51nod1228.out","w",stdout);
  inv[1]=1; for(int i=2;i<=2005;i++) inv[i]=(P-P/i)*inv[P%i]%P;
  fac[0]=1; for(int i=1;i<=2005;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%P;
  fac_inv[0]=1; for(int i=1;i<=2005;i++) fac_inv[i]=fac_inv[i-1]*inv[i]%P;
  B[0]=1;
  for(int i=1;i<=2005;i++){
    for(int j=0;j<=i-1;j++) (B[i]+=C(i+1,j)*B[j]%P)%=P;
    B[i]=B[i]*(P-inv[i+1])%P;
  }
  scanf("%d",&_test);
  while(_test--){
    scanf("%lld%d",&n,&m);
    ans=0; n=(n+1)%P;
    pw_n[0]=1; for(int i=1;i<=m+1;i++) pw_n[i]=pw_n[i-1]*n%P;
    for(int i=0;i<=m;i++) (ans+=C(m+1,i)*B[i]%P*pw_n[m+1-i]%P)%=P; 
    ans=(ans*inv[m+1]%P+P)%P;     
    printf("%lld\n",ans);
  }
  return 0;
}