2018.09.25 51nod1597 有限背包计数问题（背包+前缀和优化）

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#dp

这篇博客介绍了如何解决有限背包计数问题，使用动态规划（dp）和前缀和优化，将时间复杂度降低到O(n * sqrt(n))。博主分享了从O(n^2)到O(n * sqrt(n))的思路转变，并提供了关键的优化技巧，通过按余数分组和特殊完全背包问题来实现高效解法。

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传送门
dp好题。
我认为原题的描述已经很清楚了：
你有一个大小为n的背包，你有n种物品，第i种物品的大小为i，且有i个，求装满这个背包的方案数有多少。
两种方案不同当且仅当存在至少一个数i满足第i种物品使用的数量不同。

然而我只会 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)的做法。
然后通过搜题解学会了 O ( n ∗ s q r t ( n ) ) O(n*sqrt(n)) O(n∗sqrt(n))的做法。
简单讲讲。

首先我们需要分布考虑。
对于大于 s q r t ( n ) sqrt(n) sqrt(n)的物品是选不完的，相当于没有数量限制。
而小于 s q r t ( n ) sqrt(n) sqrt(n)的物品是有数量限制的。
但是直接上多重背包效率上天。
因此我们开始考虑如何优化。
先想想dp式子。
f [ i ] [ j ] = ∑ f [ i − 1 ] [ j − k ∗ i ] f[i][j]=\sum f[i-1][j-k*i] f[i][j]=∑f

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luke2834的专栏
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