[清华集训2014]玛里苟斯

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线性基

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本文探讨了一种针对63位数的复杂概率计算方法，通过分层讨论不同情况下数值的贡献，包括单个数值、成对数值以及更复杂组合的情况。通过线性基和深度搜索策略，解决了高维空间中的概率估算问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

一、题目

点此看题

二、解法

注意到答案是 $2^{63}$ 次方，可以分 $k$ 来讨论：

$k = 1$ ，求出所有值或起来的值，每一位有 $\frac{1}{2}$ 的概率有贡献，所以把这个值除以 $2$ 即可。

$k = 2$ ，枚举 $i, j$ ，考虑贡献是 $2^{i+j}\times p$ ， $p$ 是 $i, j$ 同时有值的概率，考虑 $a$ 中0有没有 $10$ 或 $01$ （是 $i, j$ 位上有没有值），如果有的话 $p$ 是 $0.25$ ，否则 $p$ 是 $0.5$ ，那么 $0.25$ 是怎么得出来的呢？分成三种情况，只有 $01$ ，只有 $10$ ，有 $01$ 和 $10$ ，计算就交给读者了，限于篇幅不给出详细说明。

$k\geq3$ ，我们建出线性基，然后直接爆搜即可（想一想，每种情况的概率是 $2^{-cnt}$ ， $c n t$ 是线性基里的个数，因为每种情况的个数是 $2^{n-cnt}$ ），只用搜O( $2^{63/3}$ )那么次即可。

详细实现中还有一些细节，可以康康我的代码和注释。

#include <cstdio>
#define int unsigned long long
const int M = 100005;
int read()
{	
	int x=0,flag=1;char c;
	while((c=getchar())<'0' || c>'9') if(c=='-') flag=-1;
	while(c>='0' && c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
	return x*flag;
}
int n,m,k,sum,tot=1,a[M],p[70],ans,ret;
void fuck1()
{
	for(int i=1;i<=n;i++)
		ans|=a[i];
	printf("%lld",(long long)(ans/2));
	(ans%2)?puts(".5"):puts("");
}
void fuck2()
{
	for(int i=1;i<=n;i++)
		sum|=a[i];
	for(int i=0;i<32;i++)
		for(int j=0;j<32;j++)
			if((sum>>i&1) && (sum>>j&1))
			{
				int f=0;
				for(int k=1;k<=n;k++)
					if((a[k]>>i&1)^(a[k]>>j&1)) {f=1;break;}
				if(i+j<1+f) ret++;//保证不能有负数哟 
				else ans+=(1ll<<(i+j-1-f));
			}
	printf("%lld",(long long)(ans+ret/2));
	(ret%2)?puts(".5"):puts("");
}
void ins(int x)
{
	for(int i=m;~i;i--)
	//无符号减到-1会炸 
	{
		if(!(x>>i&1))continue;
		if(!p[i]) {tot<<=1;p[i]=x;break;}
		x^=p[i];
	}
}
void dfs(int x,int y)
{
	if(x>m)
	{
		int r=1;
		for(int i=1;i<k;i++) r=r*y;
		ans+=r/tot*y;r%=tot;r*=y;ret+=r;
		ans+=ret/tot;ret%=tot;
		//要这样来卡精度 
		return ;
	}
	if(p[x]) dfs(x+1,y),dfs(x+1,y^p[x]);
	else dfs(x+1,y);
}
void fuck3()
{
	if(k==3) m=21;
	if(k==4) m=16;
	if(k==5) m=13;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		ins(a[i]);
	dfs(0,0);
	printf("%lld",(long long)ans);
	ret?puts(".5"):puts("");
}
signed main()
{
	n=read();k=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)
		a[i]=read();
	if(k==1) fuck1();
	if(k==2) fuck2();
	if(k>=3) fuck3();
}