[BZOJ3811][UOJ#36][清华集训2014]玛里苟斯（期望 + 线性基）

xyz32768

于 2019-01-14 21:34:26 发布

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分类专栏： BZOJ、UOJ、LOJ 文章标签：期望线性基

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/xyz32768/article/details/86484373

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该博客介绍了如何利用期望和线性基解决BZOJ3811及UOJ#36的问题。博主首先通过拆位分析异或和的期望值，然后将问题转化为计算特定集合子集的异或和，使得某些二进制位为1的概率。博主利用线性基的方法解决了这个问题，并提到了在编程实现时需要注意的两个细节：使用unsigned long long类型和处理答案可能为分数的情况。

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                    Address 
BZOJ 3811
UOJ #36
 
Solution 
看到异或，首先想到拆位
下面  xor ( A ) \text{xor}(A) xor(A) 表示子集  A A A 的异或和，  b i t ( x , i ) bit(x,i) bit(x,i) 表示  x x x 的第  i i i 个二进制位（最低二进制位为第  0 0 0 位）
可以得出
 a n s = E ( xor ( A ) k , A ⊂ S ) = E ( ( ∑ i ≥ 0 b i t ( xor ( A ) , i ) 2 i ) k ) ans=E(\text{xor}(A)^k,A\subset S)=E((\sum_{i\ge 0}bit(\text{xor}(A),i)2^i)^k) ans=E(xor(A)k,A⊂S)=E((i≥0∑​bit(xor(A),i)2i)k)
 = E ( ∑ i 1 ≥ 0 ∑ i 2 ≥ 0 ⋯ ∑ i k ≥ 0 2 ∑ j = 1 k i j ∏ j = 1 k b i t ( xor ( A ) , i j ) ) =E(\sum_{i_1\ge 0}\sum_{i_2\ge 0}\dots\sum_{i_k\ge 0}2^{\sum_{j=1}^ki_j}\prod_{j=1}^kbit(\text{xor}(A),i_j)) =E(i1​≥0∑​i2​≥0∑​⋯ik​≥0∑​

                

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