[CQOI2018]九连环

一、题目

点此看题

二、解法

根据题目中$4$连环的解释，你可以发现拆除$4$连环满足如下规律：

• 拆掉一个$2$连环，使得原环变成$1100$
• 拿掉最左边的$1$
• 加二连环使其变为$0111$
• 拆三连环

这就完成了一个问题的转化，由于拆和加环效果相同，我们定义$d{p}_i$为拆掉$i$连环需要的步数，则有递推式：
$$dp[i]=2\cdot dp[i-2]+dp[i-1]+1$$可以把答案写成二进制的形式：1 10 101 1010 10101 $......$

可以发现相邻两个二进制数的和是$1111..$的形式，所以 $dp[i]+dp[i+1]=2^{i+1}$，结合$dp[n]=2dp[n-1]+(n\&1)?1:0$（打表规律），可以发现答案是$\frac{2^{i+1}}{3}$

这样问题就转化成了高精度，可以用$\text{FFT}$优化，下面写出一些注意事项：

• 清零最重要，每个地方每个数组及时清零
• 不要把数组开在函数里面，开在函数外面反复利用

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
const int MAXN = 100005;
const double pi = acos(-1.0);
int read()
{
    int num=0,flag=1;char c;
    while((c=getchar())<'0'||c>'9')if(c=='-')flag=-1;
    while(c>='0'&&c<='9')num=(num<<3)+(num<<1)+(c^48),c=getchar();
    return num*flag;
}
int n,T;
struct complex
{
	double x,y;
	complex() {x=y=0;}
	complex(double X,double Y) : x(X) , y(Y) {}
	complex operator + (const complex &R) const {return complex(x+R.x,y+R.y);}
	complex operator - (const complex &R) const {return complex(x-R.x,y-R.y);}
	complex operator * (const complex &R) const {return complex(x*R.x-y*R.y,x*R.y+y*R.x);} 
}A[MAXN],B[MAXN];
void FFT(int len,complex *a,int flg)
{
	if(len==1) return ;
	complex a1[len>>1],a2[len>>1];
	for(int i=0;i<len;i+=2) a1[i>>1]=a[i],a2[i>>1]=a[i+1];
	FFT(len>>1,a1,flg);FFT(len>>1,a2,flg);
	const complex w=complex(cos(pi*2.0/len),sin(pi*2.0/len)*flg);
	complex k=complex(1,0);len>>=1;
	for(int i=0;i<len;i++,k=k*w)
	{
		a[i]=a1[i]+k*a2[i];
		a[i+len]=a1[i]-k*a2[i];
	}
}
struct bignum
{
	int n,a[MAXN];
	bignum() {memset(a,0,sizeof a);n=1;}
	bignum(int x)
	{
		memset(a,0,sizeof a);n=0;
		if(!x) {n=1;return ;}
		while(x) a[n++]=x%10,x/=10;
	}
	void print()
	{
		for(int i=n-1;i>=0;i--)
			printf("%d",a[i]);
		puts("");
	}
	void operator /= (int x)
	{
		int t=0,len=0;
		for(int i=n-1;i>=0;i--)
		{
			t=t*10+a[i];
			a[i]=t/x;t%=x;
			if(!len && a[i]) len=i+1;
		}
		n=max(len,1);
	}
	void operator *= (bignum b)
	{
		int len=1;while(len<=n+b.n) len<<=1;
		for(int i=0;i<len;i++) A[i]=B[i]=complex(0,0);
		for(int i=0;i<n;i++) A[i]=complex(a[i],0);
		for(int i=0;i<b.n;i++) B[i]=complex(b.a[i],0);
		FFT(len,A,1);FFT(len,B,1);
		for(int i=0;i<len;i++) A[i]=A[i]*B[i];
		FFT(len,A,-1);
		for(int i=0;i<n+b.n;i++)
			a[i]=0;
		for(int i=0;i<n+b.n;i++)
		{
			a[i]+=(int)(A[i].x/len+0.5);
			if(a[i]>=10)
				a[i+1]+=a[i]/10,a[i]%=10;
		}
		for(int i=n+b.n-1;i>=0;i--)
			if(a[i])
			{
				n=i+1;
				break;
			}
	}
}a,r;
int main()
{
	T=read();
	while(T--)
	{
		n=read()+1;
		a=bignum(2),r=bignum(1);
		while(n>0)
		{
			if(n&1) r*=a;
			a*=a;
			n>>=1;
		}
		r/=3;
		r.print();
	}
}