小朋友和二叉树

一、题目

Description
我们的小朋友很喜欢计算机科学，而且尤其喜欢二叉树。
考虑一个含有n个互异正整数的序列c[1],c[2],…,c[n]。如果一棵带点权的有根二叉树满足其所有顶点的权值都在集合{c[1],c[2],…,c[n]}中，我们的小朋友就会将其称作神犇的。并且他认为，一棵带点权的树的权值，是其所有顶点权值的总和。
给出一个整数m，你能对于任意的s(1<=s<=m)计算出权值为s的神犇二叉树的个数吗？请参照样例以更好的理解什么样的两棵二叉树会被视为不同的。
我们只需要知道答案关于998244353(7×17×2^23+1,一个质数)取模后的值。

Input
第一行有2个整数 n,m(1<=n<=10^5; 1<=m<=10^5)。
第二行有n个用空格隔开的互异的整数 c[1],c[2],…,c[n]（1<=c[i]<=10^5)。

Output
输出m行，每行有一个整数。第i行应当含有权值恰为i的神犇二叉树的总数。请输出答案关于998244353(=7×17×2^23+1,一个质数)取模后的结果。

二、解法

首先很容易想到一个柿子，也就是考虑当前点权值的选取情况，分别考虑左右子树，$f_i$表示权值为$i$的子树的方案数，$g_i$表示值$i$有没有在输入的$c$中出现过，则：
$$f_i=\sum _{j=0}^i{g}_j\sum _{k=0}^{i-j}{f}_k{f}_{i-j-k}$$上式的本质是三个多项式求卷积，我们知道其中的$g$，要求$f$，可以用解方程的思想求$f$，有下式：
$$f=g\times f\times f+1$$其中$1$是空子树，加到$f_0$上面，可以把上式当成一个一元二次方程解，所以$f$可以表示为：
$$f=\frac{1\pm \sqrt{1-4g}}{2g}$$仔细考虑，发现如果取正号的话对于$f_0$这一项是无意义的，所以$f$只能用负号来算，柿子变为：
$$f=\frac{1-\sqrt{1-4g}}{2g}$$计算上面的柿子需要用到多项式求逆和多项式开根，可以看我的博客学习。

我的代码在$vjudge$和$bzoj$上会$\text{T}$，但是它是正确的。

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
const int M = 500005;
const int MOD = 998244353;
const int inv2 = (MOD+1)/2;
#define int long long
int read()
{
	int x=0,f=1;char c;
	while((c=getchar())<'0' || c>'9') {if(c=='-') f=-1;}
	while(c>='0' && c<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);c=getchar();}
	return x*f;
}
int n,m,len,a[M],b[M],c[M],A[M],B[M],C[M],rev[M];
int qkpow(int a,int b)
{
	int r=1;
	while(b>0)
	{
		if(b&1) r=r*a%MOD;
		a=a*a%MOD;
		b>>=1;
	}
	return r;
}
void NTT(int *a,int len,int op)
{
	for(int i=0;i<len;i++)
	{
		rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)*(len/2));
		if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
	}
	for(int s=2;s<=len;s<<=1)
	{
		int t=s/2,w=(op==1)?qkpow(3,(MOD-1)/s):qkpow(3,MOD-1-(MOD-1)/s);
		for(int i=0;i<len;i+=s)
		{
			for(int j=0,x=1;j<t;j++,x=w*x%MOD)
			{
				int fe=a[i+j],fo=a[i+j+t];
				a[i+j]=(fe+x*fo)%MOD;
				a[i+j+t]=((fe-x*fo)%MOD+MOD)%MOD;
			}
		}
	}
	if(op==1) return ;
	int inv=qkpow(len,MOD-2);
	for(int i=0;i<len;i++)
		a[i]=a[i]*inv%MOD;
}
void mul(int n,int *a,int *b,int *c)
{
	len=1;
	while(len<2*n) len<<=1;
	for(int i=0;i<len;i++) A[i]=B[i]=0;
	for(int i=0;i<n;i++) A[i]=a[i],B[i]=b[i];
	NTT(A,len,1);NTT(B,len,1);
	for(int i=0;i<len;i++) A[i]=A[i]*B[i]%MOD;
	NTT(A,len,-1);
	for(int i=0;i<n;i++) c[i]=A[i];
}
void work(int n,int *a,int *b)
{
	len=1;
	while(len<2*n) len<<=1;
	for(int i=0;i<len;i++) A[i]=B[i]=0;
	for(int i=0;i<n;i++) A[i]=a[i];
	for(int i=0;i<n/2;i++) B[i]=b[i];
	NTT(A,len,1);NTT(B,len,1);
	for(int i=0;i<len;i++)
		A[i]=((2*B[i]-B[i]*B[i]%MOD*A[i])%MOD+MOD)%MOD;
	NTT(A,len,-1);
	for(int i=0;i<n;i++) b[i]=A[i];
}
void inv(int n,int *a,int *b)
{
	int cur=1;b[0]=qkpow(a[0],MOD-2);
	while(cur<n)
	{
		cur<<=1;
		work(cur,a,b);
	}
}
void sqr(int n,int *a,int *b)
{
	int cur=1;b[0]=1;
	while(cur<n)
	{
		cur<<=1;
		inv(cur,b,c);
		mul(cur,a,c,c);
		for(int i=0;i<cur;i++)
			b[i]=inv2*(b[i]+c[i])%MOD;
	}
}
signed main()
{
	m=read();n=read()+1;
	for(int i=1;i<=m;i++)
		a[read()]=MOD-4;
	a[0]=1;
	sqr(n,a,b);
	b[0]++;
	inv(n,b,a);
	for(int i=1;i<n;i++)
		printf("%lld\n",2*a[i]%MOD);
}