[学习笔记]母函数

母函数的性质

1、定义

母函数是用于对应一个无穷序列的幂级数，一般来说母函数有形式：
$$G(x)=g_0+g_{1}x+g_2+x^2+...=\sum _{i=0}^{\infty }{g}_i{x}^i$$$$=<g_0,g_1,g_2......>$$2、闭形式

举一个例子，有一个生成函数是 $<1,1,1...>$，我们尝试对它求和：
$$<1,1,1...>=\frac{1-x^{\infty }}{1-x}=\frac{1}{1-x}$$最后一步是因为在$x\in (0,1)$时，$x^{\infty }$趋近于$0$，那我们就可以得到一个简洁的表达方法，这就是闭形式。

3、基础操作

• 放缩，即 $<c{g}_0,c{g}_1,c{g}_2....>=cG(x)$
• 加减法，即 $<f_0\pm g_0,f_1\pm g_1,f_2\pm g_2....>=F(x)\pm G(x)$
• 求导，举一个例子，对于 $G(x)=1+x+x^2....=\frac{1}{1-x}$求导，$G^{\prime }(x)=1+2x+3x^2...=\frac{1}{(1-x{)}^2}$，这里利用到了对母函数求导等价于对它的闭形式求导。
• 卷积，类比多项式的卷积，这个操作广泛运用于组合数学。

应用

[例一] wyx旅游

题目描述

小明出门旅游，需要带一些食物，包括薯片，巧克力，矿泉水，汉堡，牛奶和糖果。经过估计，他觉得带 $n\le 10^{100}$ 件食物比较合适，但他还有一些癖好，问方案数：

• 最多带1个汉堡
• 巧克力的块数是5的倍数
• 最多带4瓶矿泉水
• 薯片的包数是一个偶数
• 最多带3罐牛奶
• 糖果的个数是4的倍数

解法

尝试把这些限制写成母函数的形式：

• 汉堡，$h(x)=1+x$
• 巧克力，$c(x)=1+x^5+x^{10}......=\frac{1}{1-x^5}$
• 矿泉水，$p(x)=1+x+x^2+x^3+x^4=\frac{1-x^5}{1-x}$
• 薯片，$w(x)=1+x^2+x^4......=\frac{1}{1-x^2}$
• 牛奶，$m(x)=1+x^1+x^2+x^3=\frac{1-x^4}{1-x}$
• 糖果，$s(x)=1+x^4+x^8....=\frac{1}{1-x^4}$

把这些多项式乘起来：
$$\frac{1}{(1-x{)}^3}=<1,C_3^2,C_4^2......>$$上式的得出本质上是用插板法解决的不定方程解的个数，所以答案就是$C_{n+2}^2=n(n+1)/2$

[例二] 无名

求$n$位十进制正数中出现偶数个$5$的数的个数。

兄弟们，我们先来搞个$dp$，设$a[i]$为偶数个$5$的$i$位十进制数，$b[i]$为奇数个$5$的$i$位十进制数：
$$a_i=9a_{i-1}+b_{i-1}$$$$b_i=9b_{i-1}+a_{i-1}$$兄弟们，我们把它写成母函数的形式：
$$A(x)=\sum _{i=0}^{+\infty }{a}_{i+1}{x}^i$$$$B(x)=\sum _{i=0}^{+\infty }{b}_{i+1}{x}^i$$兄弟们，我们优化的目的就是换一种简洁的表示出母函数（进而得到系数），观察转移方程，我们尝试消掉一些东西。

$A(x)$乘以$-9x$，$B(x)$乘以$-x$，然后我们把这两个和$A(x)$等号两边相加（自己算），就能得到：
$$(1-9x)A(x)-xB(x)=a_1=8$$同理：
$$(1-9x)B(x)-xA(x)=b_1=1$$然后解一个方程就可以得到：
$$A(x)=\frac{-71x+8}{(1-8x)(1-10x)},B(x)=\frac{1-x}{(1-8x)(1-10x)}$$要把$A(x)$再转化成无穷级数的形式，需要把它拆成两部分，用初中的待定系数法：
$$A(x)=(\frac{7}{(1-8x)}+\frac{9}{1-10x})/2$$这里需要把闭形式转化成无穷级数，可以类比最简单的形式（$\sum x^i=\frac{1}{1-x}$），就可以得到：
$$2A(x)=\sum _{i=0}^{+\infty }7\times (8x{)}^i+\sum _{i=0}^{+\infty }9\times (10x{)}^i$$系数（答案）就不难知道了：
$$a_n=(7\times 8^{n-1})/2+(9\times 10^{n-1})/2$$

[例三] 遗忘的集合

https://blog.youkuaiyun.com/C202044zxy/article/details/103714435