bzoj5300: [Cqoi2018]九连环【FFT+高精度】

最新推荐文章于 2023-04-05 16:06:55 发布

Neo__Z

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分类专栏： --------数学问题-------- 多项式运算 --------题目来源-------- bzoj

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多项式运算

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本文介绍了一种使用快速傅立叶变换（FFT）结合高精度计算的方法来求解一个特殊的数列问题。该数列遵循特定的递推公式，并且可以被高效地通过FFT进行计算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

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解题思路：

容易发现 $f_i=f_{i-1}+2f_{i-2}+1=2f_{i-1}+(i\%2)$ ，但还不够。
又发现 $f_i=\lfloor\frac{2^{i+1}}{3}\rfloor$ ，直接FFT+高精度即可。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
int getint()
{
    int i=0,f=1;char c;
    for(c=getchar();(c!='-')&&(c<'0'||c>'9');c=getchar());
    if(c=='-')c=getchar(),f=-1;
    for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())i=(i<<3)+(i<<1)+c-'0';
    return i*f;
}
const int N=100005,mod=998244353,g=3;
ll Pow(ll x,int y)
{
    ll res=1;
    for(;y;y>>=1,x=x*x%mod)
        if(y&1)res=res*x%mod;
    return res;
}
ll w[N],w_inv[N],pos[N];
struct Bignum
{
    ll a[N],deg;
    inline void clear(){for(int i=0;i<=deg;i++)a[i]=0;deg=0;}
    inline void copy(const Bignum &A)
    {
        clear();deg=A.deg;
        for(int i=0;i<=deg;i++)a[i]=A.a[i];
    }
    inline void W(){for(int i=deg;i>=0;i--)putchar('0'+a[i]);}
}A,B,C,D,res,res1;
void NTT(ll *f,int len,int on)
{
    for(int i=1;i<len;i++)
        pos[i]=(i&1)?pos[i>>1]>>1|(len>>1):pos[i>>1]>>1;
    for(int i=1;i<len;i++)
        if(i<pos[i])swap(f[i],f[pos[i]]);
    for(int i=1,num=1;i<len;i<<=1,num++)
    {
        ll wi=(on==1?w[num]:w_inv[num]);
        for(int j=0;j<len;j+=(i<<1))
        {
            ll wn=1;
            for(int k=j;k<j+i;k++)
            {
                ll u=f[k],v=wn*f[k+i]%mod;
                f[k]=(u+v)%mod,f[k+i]=(u-v+mod)%mod;
                wn=wn*wi%mod;
            }
        }
    }
    if(on==-1)
        for(int i=0,inv=Pow(len,mod-2);i<len;i++)
            f[i]=f[i]*inv%mod;
}
inline Bignum operator * (const Bignum &A,const Bignum &B)
{
    C.copy(A),D.copy(B);
    res.clear();res.deg=C.deg+D.deg;
    int len=1;
    while(len<=C.deg+D.deg)len<<=1;
    NTT(C.a,len,1),NTT(D.a,len,1);
    for(int i=0;i<len;i++)C.a[i]*=D.a[i];
    NTT(C.a,len,-1);
    for(int i=0;i<=res.deg;i++)res.a[i]=C.a[i];
    for(int i=0;i<len;i++)C.a[i]=D.a[i]=0;
    for(int i=0;i<=res.deg;i++)if(res.a[i]>=10)res.a[i+1]+=res.a[i]/10,res.a[i]%=10;
    while(res.a[res.deg+1])
    {
        int i=++res.deg;
        if(res.a[i]>=10)res.a[i+1]+=res.a[i]/10,res.a[i]%=10;
    }
    return res;
}
inline Bignum Pow(const Bignum &A,int b)
{
    res1.clear(),res1.a[0]=1,B.copy(A);
    for(;b;b>>=1,B=B*B)
        if(b&1)res1=res1*B;
    return res1;
}
inline Bignum operator /(const Bignum &A,int b)
{
    res.clear(),C.copy(A),res.deg=C.deg;
    for(int i=C.deg,ret=C.a[i];i>=0;i--)
    {
        res.a[i]=ret/b;
        if(i)ret=(ret-res.a[i]*b)*10+C.a[i-1];
    }
    while(!res.a[res.deg])res.deg--;
    return res;
}
void solve(int n)
{
    A.clear();A.a[0]=2;
    A=Pow(A,n+1);
    A=A/3;
    A.W(),putchar('\n');
}
int main()
{
    //freopen("baguenaudier.in","r",stdin);
    //freopen("baguenaudier.out","w",stdout);
    int len=1,num=0;
    while(len<=N+N)
    {
        len<<=1;
        w[++num]=Pow(g,(mod-1)/len);
        w_inv[num]=Pow(w[num],mod-2);
    }
    for(int T=getint();T;T--)
        solve(getint());
    return 0;
}