[HEOI2016/TJOI2016]求和

一、题目

点此看题

二、解法

0x01 前置芝士

第二类斯特林数的模型是把$n$个不同的小球放进$m$个相同的盒子中，要求盒子非空的方案数，记作$S(n,m)$。

递推式：$S(n,m)=S(n-1,m-1)+m\cdot S(n-1,m)$，也就是考虑加入一个球或一个盒子。

容斥推导的通项公式：$S(n,m)={\sum }_{i=0}^m(-1{)}^i\times C(m,i)\times (m-i{)}^n$，也就是容斥非空的这个限制，$i$表示空出来的盒子个数，那么方案数就是 选出空出的盒子$\times$在剩下的盒子中随便放的方案数。

0x02 式子推导
$$\begin{gathered} f(n)=\sum _{i=0}^n\sum _{j=0}^{i}S(i,j)\times 2^j\times j! \\ =\sum _{i=0}^n\sum _{j=0}^i{2}^j\sum _{k=0}^j(-1{)}^k\times C(j,k)\times (j-k{)}^i \\ =\sum _{i=0}^n\sum _{j=0}^i{2}^j\times j!\sum _{k=0}^j\frac{(-1{)}^k}{k!}\times \frac{(j-k{)}^i}{(j-k)!} \\ =\sum _{i=0}^n\sum _{j=0}^n{2}^j\times j!\sum _{k=0}^j\frac{(-1{)}^k}{k!}\times \frac{(j-k{)}^i}{(j-k)!} \\ =\sum _{j=0}^n{2}^j\times j!\sum _{k=0}^j\frac{(-1{)}^k}{k!}\times \frac{{\sum }_{i=0}^n(j-k{)}^i}{(j-k)！} \end{gathered}$$记$f(i)=\frac{(-1{)}^k}{k!},g(i)=\frac{{\sum }_{j=0}^n{i}^j}{i!}$，则：
$$=\sum _{j=0}^n{2}^j\times j!\sum _{k=0}^{j}f(k)g(j-k)$$最后一个式子就是卷积的形式，用$\text{NTT}$优化即可。
解释一下第四个柿子，因为我们的$S(n,m)$（当$m>n$时）用容斥公式算出来是$0$，所以可以扩大$j$的范围，方便改变枚举顺序，$g$数组需要用等比数列求和，我一开始写了一个预处理阶乘法。

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cmath>
#define int long long
using namespace std;
const int MAXN = 300005;
const int MOD = 998244353;
int read()
{
    int num=0,flag=1;char c;
    while((c=getchar())<'0'||c>'9')if(c=='-')flag=-1;
    while(c>='0'&&c<='9')num=(num<<3)+(num<<1)+(c^48),c=getchar();
    return num*flag;
}
int n,len,lg,ans,f[MAXN],g[MAXN];
int Rev[MAXN],fac[MAXN],inv[MAXN];
void init(int n)
{
	inv[0]=inv[1]=fac[0]=fac[1]=1; 
	for(int i=2;i<=n;i++) inv[i]=inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;
	for(int i=2;i<=n;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%MOD;
	for(int i=2;i<=n;i++) inv[i]=inv[i]*inv[i-1]%MOD;
}
int qkpow(int a,int b)
{
	int res=1;
	while(b>0)
	{
		if(b&1) res=res*a%MOD;
		a=a*a%MOD;
		b>>=1;
	}
	return res;
}
void NTT(int *a,const int len,int tmp)
{
	for(int i=0;i<len;i++)
	{
		Rev[i]=(Rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lg-1));
		if(i<Rev[i])
			swap(a[i],a[Rev[i]]);
	}
	for(int s=2;s<=len;s<<=1)
	{
		int t=s/2,w=(tmp==1)?qkpow(3,(MOD-1)/s):qkpow(3,(MOD-1)-(MOD-1)/s);
		for(int i=0;i<len;i+=s)
		{
			int x=1;
			for(int j=0;j<t;j++,x=x*w%MOD)
			{
				int fe=a[i+j],fo=a[i+j+t];
				a[i+j]=(fe+x*fo)%MOD;
				a[i+j+t]=((fe-fo*x)%MOD+MOD)%MOD;
			}
		}
	}
	if(tmp==1) return ;
	int inv=qkpow(len,MOD-2);
	for(int i=0;i<len;i++)
		a[i]=a[i]*inv%MOD;
}
signed main()
{
	n=read();
	init(n);
	for(int i=0;i<=n;i++)
		if(i%2) f[i]=MOD-inv[i];
		else f[i]=inv[i];
	g[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(i==1) g[i]=n+1;
		else g[i]=(qkpow(i,n+1)-1)*qkpow(i-1,MOD-2)%MOD*inv[i]%MOD;
	}
	len=1;while(len<=2*n+2)len<<=1,lg++;
	NTT(f,len,1);NTT(g,len,1);
	for(int i=0;i<len;i++) f[i]=f[i]*g[i];
	NTT(f,len,-1);
	for(int i=0;i<=n;i++)
		ans+=qkpow(2,i)*fac[i]%MOD*f[i]%MOD,ans%=MOD;
	printf("%lld\n",(ans%MOD+MOD)%MOD);
}