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FFT优化的DP算法解析

原创于 2019-12-19 20:10:05 发布 · 197 阅读

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一、题目

在这里插入图片描述

二、解法

先考虑朴素 $d p$ 把，设 $f [i] [j]$ 为从 $(1, 1)$ 走向位置 $(i, j)$ 的方案数，则有转移：
$f[i][j]=∑j−j′≤k−1f[i−1][j′]×b[j−j′]f[i][j]=\sum_{j-j'\leq k-1} f[i-1][j']\times b[j-j']$ 发现上面的 $d p$ 式子是卷积的形式，可以用 $FFT/NTT\text{FFT/NTT}$ 优化。
但是这道题的 $n$ 很大，就算用卷积优化也不行，那我们就用一个快速幂，对数组 $b$ 进行 $n - 2$ 次卷积后再和 $a$ 数组进行卷积，这道题要限制 $b$ 的长度在 $m$ 以内，如果要用 $NTT\text{NTT}$ 的话，可以把模数开的很大，最后在模 $19$ ，因为大的模数不会是 $NTT\text{NTT}$ 时的答案变小，注意我的代码是把题目中的 $a, b$ 数组存成了 $b, a$ （~~不要问我为什么~~ ），需要特判 $n = 1$ 的情况。

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
const int M = 50005;
const int MOD = 1004535809;
#define int long long
int read()
{
	int x=0,f=1;char c;
	while((c=getchar())<'0' || c>'9') {if(c=='-') f=-1;}
	while(c>='0' && c<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);c=getchar();}
	return x*f;
}
int n,m,k,len,lg,a[M],r[M],rev[M];
int qkpow(int a,int b)
{
	int r=1;
	while(b>0)
	{
		if(b&1) r=r*a%MOD;
		a=a*a%MOD;
		b>>=1;
	}
	return r;
}
void NTT(int *a,int len,int tmp)
{
	for(int i=0;i<len;i++)
	{
		rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lg-1));
		if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
	}
	for(int s=2;s<=len;s<<=1)
	{
		int t=s/2,w=(tmp==1)?qkpow(3,(MOD-1)/s):qkpow(3,(MOD-1)-(MOD-1)/s);
		for(int i=0;i<len;i+=s)
		{
			int x=1;
			for(int j=0;j<t;j++,x=x*w%MOD)
			{
				int fe=a[i+j],fo=a[i+j+t];
				a[i+j]=(fe+x*fo)%MOD;
				a[i+j+t]=((fe-fo*x)%MOD+MOD)%MOD;
				//一定要这样，保证是正数才行 
			}
		}
	}
	if(tmp==1) return ;
	int inv=qkpow(len,MOD-2);
	for(int i=0;i<len;i++) a[i]=a[i]*inv%MOD;
}
void mul(int *a,int *b,int *c)
{
	int A[M]={},B[M]={};len=1;lg=0;
	while(len<=2*m) len<<=1,lg++;
	for(int i=0;i<m;i++) A[i]=a[i];
	for(int i=0;i<m;i++) B[i]=b[i];
	NTT(A,len,1);NTT(B,len,1);
	for(int i=0;i<len;i++) A[i]=A[i]*B[i]%MOD;
	NTT(A,len,-1);
	for(int i=0;i<m;i++) c[i]=A[i]%19;
}
signed main()
{
	n=read()-1;m=read();k=read();
	for(int i=0;i<m;i++) r[i]=read()%19;
	for(int i=0;i<k;i++) a[i]=read()%19;
	while(n>0)
	{
		if(n&1) mul(r,a,r);
		mul(a,a,a);
		n>>=1;
	}
	for(int i=0;i<m;i++)
		printf("%lld ",(r[i]+19)%19);
}