[模板]任意模数NTT

最新推荐文章于 2024-01-22 21:13:52 发布

C202044zxy

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本文介绍了如何解决任意模数NTT问题，通过运行三次普通NTT并使用大质数还原结果。选取的质数为469762049, 998244353, 1004535809，原根均为3。利用中国剩余定理计算答案，并解释为何需要使用超大质数。" 119810987,8746820,USACO21FEB Counting Graphs P 题解,"['算法', '竞赛编程', '图算法', '动态规划']

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一、题目

点此看题

二、解法

所谓任意模数 $\text{NTT}$ 其实就是跑三遍普通 $\text{NTT}$ ，用大质数来还原结果。
我们选的质数是： $469762049, 998244353, 1004535809$ ，它们的原根都是 $3$ 。
设我们跑出来的三个答案分别是 $ans_1,ans_2,ans_3$ ，我们先用中国剩余定理求出 $x=ans_4\mod p_1p_2$ ，所以 $ans_4+kp_1p_2=x$ ，我们现在的问题就在于求 $k$ ，用 $ans_3$ ，可得： $kp_1p_2=ans_3-ans_4\mod p_3$ ，所以 $k=(ans_3-ans_4)p_1^{-1}p_2^{-1}\mod p_3$ ，求出 $k$ 后，算出初始的 $x$ ，然后就可以模 $p$ 算出答案。
这也作证了为什么我们要用超大质数，我这道题写了 $__int128 \text{\_\_int128}$ 。

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cmath>
#define int __int128
using namespace std;
const int MAXN = 300005;
int read()
{
    int num=0,flag=1;char c;
    while((c=getchar())<'0'||c>'9')if(c=='-')flag=-1;
    while(c>='0'&&c<='9')num=(num<<3)+(num<<1)+(c^48),c=getchar();
    return num*flag;
}
int n,m,p,lg,a[MAXN],b[MAXN],Rev[MAXN],ans[MAXN][4];
int p1=469762049,p2=998244353,p3=1004535809;
int A[MAXN]={},B[MAXN]={},len=1;
int qkpow(int a,int b,int mod)
{
	int res=1;
	while(b>0)
	{
		if(b&1) res=res*a%mod;
		a=a*a%mod;
		b>>=1;
	}
	return res;
}
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
	if(b==0){x=1;y=0;return a;}
	int d=exgcd(b,a%b,y,x);
	y-=(a/b)*x;
	return d;
}
void NTT(int *a,const int len,int tmp,int MOD)
{
	
	for(int i=0;i<len;i++)
	{
		Rev[i]=(Rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lg-1));
		if(i<Rev[i])
			swap(a[i],a[Rev[i]]);
	}
	for(int s=2;s<=len;s<<=1)
	{
		int t=s/2,w=(tmp==1)?qkpow(3,(MOD-1)/s,MOD):qkpow(3,(MOD-1)-(MOD-1)/s,MOD);
		for(int i=0;i<len;i+=s)
		{
			int x=1;
			for(int j=0;j<t;j++,x=x*w%MOD)
			{
				int fe=a[i+j],fo=a[i+j+t];
				a[i+j]=(fe+x*fo)%MOD;
				a[i+j+t]=((fe-fo*x)%MOD+MOD)%MOD;
			}
		}
	}
	if(tmp==1) return ;
	int inv=qkpow(len,MOD-2,MOD);
	for(int i=0;i<len;i++)
		a[i]=a[i]*inv%MOD;
}
void fuck(int p,int id)
{
	len=lg=1;while(len<=n+m+2) len<<=1,lg++;
	lg--;
	for(int i=0;i<len;i++) A[i]=B[i]=0;
	for(int i=0;i<=n;i++) A[i]=a[i];
	for(int i=0;i<=m;i++) B[i]=b[i];
	NTT(A,len,1,p);NTT(B,len,1,p);
	for(int i=0;i<len;i++) A[i]=A[i]*B[i]%p;
	NTT(A,len,-1,p);
	for(int i=0;i<=n+m;i++)
		ans[i][id]=A[i];
}
int excrt(int a,int b)
{
	int m[3]={0,p1,p2},r[3]={0,a,b};
	int M=m[1],R=r[1],x,y;
	for(int i=2;i<=2;i++)
	{
		int d=exgcd(M,m[i],x,y);
		if((R-r[i])%d) return -1;
		x=x*(R-r[i])/d%m[i];
		R-=x*M;
		M=M*m[i]/d;
		R%=M;
	}
	return (R%M+M)%M;
}
signed main()
{
	n=read();m=read();p=read();
	for(int i=0;i<=n;i++) a[i]=read();
	for(int i=0;i<=m;i++) b[i]=read();
	fuck(p1,1);
	fuck(p2,2);
	fuck(p3,3);
	for(int i=0;i<=n+m;i++)
	{
		int x=excrt(ans[i][1],ans[i][2]);
		int y=(ans[i][3]-x)*qkpow(p1,p3-2,p3)%p3*qkpow(p2,p3-2,p3)%p3;
		y=(y%p3+p3)%p3;
		long long t=((y*p1%p*p2%p+x)%p+p)%p;
		printf("%lld ",t); 
	}
}