一、题目
二、解法
所谓任意模数
NTT
\text{NTT}
NTT其实就是跑三遍普通
NTT
\text{NTT}
NTT,用大质数来还原结果。
我们选的质数是:
469762049
,
998244353
,
1004535809
469762049,998244353,1004535809
469762049,998244353,1004535809,它们的原根都是
3
3
3。
设我们跑出来的三个答案分别是
a
n
s
1
,
a
n
s
2
,
a
n
s
3
ans_1,ans_2,ans_3
ans1,ans2,ans3,我们先用中国剩余定理求出
x
=
a
n
s
4
m
o
d
p
1
p
2
x=ans_4\mod p_1p_2
x=ans4modp1p2,所以
a
n
s
4
+
k
p
1
p
2
=
x
ans_4+kp_1p_2=x
ans4+kp1p2=x,我们现在的问题就在于求
k
k
k,用
a
n
s
3
ans_3
ans3,可得:
k
p
1
p
2
=
a
n
s
3
−
a
n
s
4
m
o
d
p
3
kp_1p_2=ans_3-ans_4\mod p_3
kp1p2=ans3−ans4modp3,所以
k
=
(
a
n
s
3
−
a
n
s
4
)
p
1
−
1
p
2
−
1
m
o
d
p
3
k=(ans_3-ans_4)p_1^{-1}p_2^{-1}\mod p_3
k=(ans3−ans4)p1−1p2−1modp3,求出
k
k
k后,算出初始的
x
x
x,然后就可以模
p
p
p算出答案。
这也作证了为什么我们要用超大质数,我这道题写了
__int128
\text{\_\_int128}
__int128。
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cmath>
#define int __int128
using namespace std;
const int MAXN = 300005;
int read()
{
int num=0,flag=1;char c;
while((c=getchar())<'0'||c>'9')if(c=='-')flag=-1;
while(c>='0'&&c<='9')num=(num<<3)+(num<<1)+(c^48),c=getchar();
return num*flag;
}
int n,m,p,lg,a[MAXN],b[MAXN],Rev[MAXN],ans[MAXN][4];
int p1=469762049,p2=998244353,p3=1004535809;
int A[MAXN]={},B[MAXN]={},len=1;
int qkpow(int a,int b,int mod)
{
int res=1;
while(b>0)
{
if(b&1) res=res*a%mod;
a=a*a%mod;
b>>=1;
}
return res;
}
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(b==0){x=1;y=0;return a;}
int d=exgcd(b,a%b,y,x);
y-=(a/b)*x;
return d;
}
void NTT(int *a,const int len,int tmp,int MOD)
{
for(int i=0;i<len;i++)
{
Rev[i]=(Rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lg-1));
if(i<Rev[i])
swap(a[i],a[Rev[i]]);
}
for(int s=2;s<=len;s<<=1)
{
int t=s/2,w=(tmp==1)?qkpow(3,(MOD-1)/s,MOD):qkpow(3,(MOD-1)-(MOD-1)/s,MOD);
for(int i=0;i<len;i+=s)
{
int x=1;
for(int j=0;j<t;j++,x=x*w%MOD)
{
int fe=a[i+j],fo=a[i+j+t];
a[i+j]=(fe+x*fo)%MOD;
a[i+j+t]=((fe-fo*x)%MOD+MOD)%MOD;
}
}
}
if(tmp==1) return ;
int inv=qkpow(len,MOD-2,MOD);
for(int i=0;i<len;i++)
a[i]=a[i]*inv%MOD;
}
void fuck(int p,int id)
{
len=lg=1;while(len<=n+m+2) len<<=1,lg++;
lg--;
for(int i=0;i<len;i++) A[i]=B[i]=0;
for(int i=0;i<=n;i++) A[i]=a[i];
for(int i=0;i<=m;i++) B[i]=b[i];
NTT(A,len,1,p);NTT(B,len,1,p);
for(int i=0;i<len;i++) A[i]=A[i]*B[i]%p;
NTT(A,len,-1,p);
for(int i=0;i<=n+m;i++)
ans[i][id]=A[i];
}
int excrt(int a,int b)
{
int m[3]={0,p1,p2},r[3]={0,a,b};
int M=m[1],R=r[1],x,y;
for(int i=2;i<=2;i++)
{
int d=exgcd(M,m[i],x,y);
if((R-r[i])%d) return -1;
x=x*(R-r[i])/d%m[i];
R-=x*M;
M=M*m[i]/d;
R%=M;
}
return (R%M+M)%M;
}
signed main()
{
n=read();m=read();p=read();
for(int i=0;i<=n;i++) a[i]=read();
for(int i=0;i<=m;i++) b[i]=read();
fuck(p1,1);
fuck(p2,2);
fuck(p3,3);
for(int i=0;i<=n+m;i++)
{
int x=excrt(ans[i][1],ans[i][2]);
int y=(ans[i][3]-x)*qkpow(p1,p3-2,p3)%p3*qkpow(p2,p3-2,p3)%p3;
y=(y%p3+p3)%p3;
long long t=((y*p1%p*p2%p+x)%p+p)%p;
printf("%lld ",t);
}
}