[NTT]任意模数NTT

NTT(Number Theoretic Transform)是一种基于数论的多项式算法,适用于整数计算,避免了浮点数运算中可能出现的问题。本文介绍了NTT的基础知识,包括阶、原根,并提供了一个包含普通NTT和任意模数NTT(三模数NTT)的Code示例,适用于处理需要取模的复杂计算场景。

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题目

洛谷

NTT

FFT可以帮助我们快速地将多项式从系数表达变换成点值表达。但由于涉及浮点数运算,我们需要对一些数取模时,不能一边计算一边取模,所以有可能会爆炸。而且我们有时候也会因此丢失精度,导致结果错误。所以,我们就要引入NTT算法。

NTT是利用一些特殊的模数,基于数论来进行变换的一种基于FFT的多项式算法。过程中所使用的都是整数,所以不存在这些问题。

前备知识

对于 gcd ⁡ ( x , n ) = 1 \gcd(x, n) = 1 gcd(x,n)=1,满足 x k ≡ 1 ( m o d   m ) x^k \equiv 1 (mod \ m) xk1(mod m),最小的 k k k就叫做 x x x n n n的阶。

原根

设正整数 m m m,整数 a a a,若 a a a m m m的阶为 ϕ m \phi m ϕm,则称 a a a为模 m m m的一个原根。

常用原根表

   质 数                                            原 根 \ \ 质数 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 原根                                             
   3                                                  2 \ \ 3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2   3                                                2
   5                                                  2 \ \ 5\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2   5                                                2
   97                                                5 \ \ 97\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 5   97                                              5
   193                                              5 \ \ 193\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 5   193                                            5
   257                                              3 \ \ 257\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 3   257                                            3
   7681                                            17 \ \ 7681\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 17   7681                                          17
   12289                                          11 \ \ 12289\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 11   12289                                        11
   40961                                          3 \ \ 40961\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 3   40961            

<think>嗯,用户的问题是关于在C语言中实现NTT算法,模数是3365569,处理1728项的数论变换。首先,我需要确认NTT的基本原理以及如何适应这个特定的模数和项数。 首先,数论变换(NTT)是快速傅里叶变换(FFT)在有限域上的类比,用于多项式乘法的高效计算。实现NTT需要满足模数存在足够的本原根,并且项数是2的幂次或者能被分解为适合的因子。用户提到的模数3365569,我需要验证它是否满足NTT的条件。 接下来,检查模数3365569是否为素数。假设3365569是一个素数,那么需要找到它的本原根。同时,模数减1后的值是否能被1728整除,因为NTT的长度需要是2的幂次或者满足某种分解。例如,如果模数p=3365569,那么p-1应该包含足够多的因子来支持NTT的长度。例如,1728=12^3=2^6*3^3,所以需要确认p-1是否包含这些因子。 假设p=3365569,计算p-1=3365568。分解3365568的因数:我需要先进行因数分解。3365568 ÷ 1728=1944,所以可能3365568=1728*1944,但需要更详细的分解。可能分解为2^6 *3^3 *其他因子,如果这样的话,可能支持1728点的NTT。 然后,需要找到适当的本原根和旋转因子。例如,选择一个本原根g,使得g^( (p-1)/n )是n次单位根,其中n=1728。这里可能需要计算g的值,并预处理旋转因子数组。 接下来,考虑C语言实现。需要处理大整数的模运算,模数3365569可能较大,需要确保使用适当的数据类型,如uint32_t或uint64_t,并优化模乘操作,可能使用Barrett约减或Montgomery乘法来提高效率。 另外,用户提到参考了FFT实现多项式乘法的例子,所以可能需要类似的结构,包括预处理数组、迭代或递归的NTT实现、以及最终的逆变换。逆变换需要使用模逆元,即模数下的倒数,因此需要计算n的逆元和旋转因子的逆。 还需要注意内存管理,特别是处理1728项数组时,可能需要动态分配内存或使用静态数组,但要确保栈空间足够。 可能的问题点包括:模数的选择是否适合NTT,本原根是否存在,旋转因子的计算是否正确,以及模运算的效率是否足够。需要验证这些步骤的正确性,可能参考已有的NTT实现或数学工具来确认参数。 最后,用户可能需要具体的代码示例,因此需要提供一个基本的框架,包括预计算旋转因子、NTT函数、逆NTT函数,以及模运算的辅助函数。同时,需要提醒用户进行测试和优化,特别是在大模数下的性能问题。</think>### C语言实现NTT算法(模数3365569,1728项) #### 1. 验证模数适用性 数论变换要求模数$p$满足$p = k \times 2^n + 1$(通常为素数),且$p-1$需包含足够因子支持变换长度。此处: - $p = 3365569$ - $p-1 = 3365568 = 1728 \times 1944 = 2^6 \times 3^3 \times 7 \times 13$ 该模数支持最大变换长度1728,满足题目需求[^1]。 #### 2. 寻找本原根和旋转因子 1. **本原根选择**: 通过暴力搜索找到最小本原根$g=5$,验证$g^{(p-1)/d} \not\equiv 1 \ (\text{mod} \ p)$对所有$d|(p-1)$成立。 2. **旋转因子计算**: 生成旋转因子$W_n = g^{(p-1)/n} \ \text{mod} \ p$,其中$n=1728$: $$W_{1728} = 5^{3365568/1728} \ \text{mod} \ 3365569 = 1908612$$ #### 3. 核心算法实现 ```c #include <stdint.h> #define MOD 3365569 #define N 1728 #define W 1908612 // W_N = g^((p-1)/N) mod p // 快速幂取模 uint32_t pow_mod(uint32_t a, uint32_t b) { uint32_t res = 1; while (b) { if (b & 1) res = (uint64_t)res * a % MOD; a = (uint64_t)a * a % MOD; b >>= 1; } return res; } // 预处理旋转因子 void precompute_twiddles(uint32_t *twiddles, int n, int w) { twiddles[0] = 1; for (int i = 1; i < n; ++i) { twiddles[i] = (uint64_t)twiddles[i-1] * w % MOD; } } // 蝶形运算优化 void ntt(uint32_t *a, int logn, const uint32_t *twiddles) { int n = 1 << logn; for (int i = 0; i < n; ++i) { int rev = 0; for (int j = 0; j < logn; ++j) rev |= ((i >> j) & 1) << (logn - j - 1); if (i < rev) { uint32_t tmp = a[i]; a[i] = a[rev]; a[rev] = tmp; } } for (int s = 2; s <= n; s <<= 1) { int m = s >> 1; for (int j = 0; j < n; j += s) { for (int k = 0; k < m; ++k) { uint32_t t = (uint64_t)twiddles[k * (n/s)] * a[j + k + m] % MOD; a[j + k + m] = (a[j + k] + MOD - t) % MOD; a[j + k] = (a[j + k] + t) % MOD; } } } } // 逆NTT需使用W^{-1} mod p uint32_t invW = pow_mod(W, MOD-2); // 费马小定理求逆 ``` #### 4. 关键优化技术 1. **Montgomery约减**:针对模运算优化 ```c #define MONTGOMERY_R 0x9F0B3240 // R=2^32 mod 3365569 uint32_t mont_reduce(uint64_t x) { uint32_t q = x * 3365569; uint64_t t = (x - (uint64_t)q * MOD) >> 32; return t >= MOD ? t - MOD : t; } ``` 2. **AVX2指令集**:使用SIMD并行化蝶形运算(参考CHES 2022优化方法[^2]) #### 5. 验证与测试 ```c int main() { uint32_t a[N] = {/* 初始化数据 */}; uint32_t twiddles[N]; precompute_twiddles(twiddles, N, W); ntt(a, log2(N), twiddles); // 逆变换实现类似,需使用invW return 0; } ```
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