[NTT]任意模数NTT

最新推荐文章于 2023-07-10 19:39:24 发布

原创

最新推荐文章于 2023-07-10 19:39:24 发布 · 1.1k 阅读

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NTT（Number Theoretic Transform）是一种基于数论的多项式算法，适用于整数计算，避免了浮点数运算中可能出现的问题。本文介绍了NTT的基础知识，包括阶、原根，并提供了一个包含普通NTT和任意模数NTT（三模数NTT）的Code示例，适用于处理需要取模的复杂计算场景。

题目

洛谷

NTT

FFT可以帮助我们快速地将多项式从系数表达变换成点值表达。但由于涉及浮点数运算，我们需要对一些数取模时，不能一边计算一边取模，所以有可能会爆炸。而且我们有时候也会因此丢失精度，导致结果错误。所以，我们就要引入NTT算法。

NTT是利用一些特殊的模数，基于数论来进行变换的一种基于FFT的多项式算法。过程中所使用的都是整数，所以不存在这些问题。

前备知识

阶

对于 $\gcd(x, n) = 1$ ，满足 $x^k \equiv 1 (mod \ m)$ ,最小的 $k$ 就叫做 $x$ 模 $n$ 的阶。

原根

设正整数 $m$ ，整数 $a$ ，若 $a$ 模 $m$ 的阶为 $\phi m$ ，则称 $a$ 为模 $m$ 的一个原根。

常用原根表

$\ \ 质数 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 原根$
$\ \ 3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2$
$\ \ 5\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2$
$\ \ 97\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 5$
$\ \ 193\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 5$
$\ \ 257\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 3$
$\ \ 7681\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 17$
$\ \ 12289\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 11$
$\ \ 40961\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 3$

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