任意模数多项式乘法MTT（可拆系数FFT）详解

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任意模数多项式乘法

前言：
在教练讲的时候脑子并不清醒，所以没听懂。后来自己看博客学会了，但目前只学了一种方法：可拆系数FFT。为了方便日后复习，决定先写下这个的笔记，关于三模数NTT下次再补。

建议：准备好演算纸和笔，本篇含有大量推算部分。

为什么不直接使用NTT/FFT

此处的模数是任意的，所以我们使用NTT时，有局限性。只有当模数满足下列情况时才可使用NTT。

模数为$P$，$P=r\times 2^k+1$，其中$k$足够大，满足$2^k\ge N$，其中$N$为多项式扩充后的项数，多项式乘法都需要将项数扩充到$2$的幂。

如果不满足上述条件，就不能直接使用NTT。

那为什么不使用FFT带模运算？
首先不考虑模数的情况下，多项式结果的系数不能超过$double$能表示的精度（一般在$10^{16}$）。超过后，$double$所表示的结果将不再精确。

那怎么办？目前可以给出两种解决方法

1. 可拆系数FFT
2. 三模数NTT （可是我还没学懂QAQ）

所以，向可拆系数FFT进发！

可拆系数FFT

怎么用可拆系数FFT

首先我们还是先假设一个情景：

求：$c_1$与$c_2$的卷积

我们可以把一个数拆成$a\times 2^{15}+b$的形式（不一定是$2^{15}$，大概在$\sqrt{值域}$内）。

$$\begin{gathered} c_1=a_1\times 2^{15}+a_2 \\ {c}_2=b_1\times 2^{15}+b_2 \end{gathered}$$

那这俩的积为

$$\begin{array}{r}{c}_1\end{array}$$