斯特林数(Stirling)——学习笔记

第一类斯特林数

$s(n,m)$ 表示 $n$ 个元素组成 $m$ 个圆排列

有

$$s(n,m)=s(n−1,m−1)+s(n−1,m)∗(n−1)$$

$$s(n,m)=\sum_{i=1}^{n} s(n-i,m-1) {n-1\choose i-1}(i-1)!$$

$$x^{\overline {n} } =x(x+1)(x+2)...(x+n-1)=\sum_{i=0}^ns(n,i)x_i$$

怎么求呢？用 $x^{\overline n}$

直接展开 $x^{\overline n}$ ,分治 $FFT$ 可以 $O(n \log^2 n)$

更好的方法是倍增求 $x^{\overline n}$ ：

$$x^{\overline{2n}}=x^{\overline n} (x+n)^{\overline n}$$
设 $F(x,n)=x^{\overline n}$ ，$G(x,n)= (x+n)^{\overline n}$
$$G(x,n)=\sum_{j=i}^n {j \choose i}F(x,n) n^{j-i}$$
这样是卷积形式，就能从 $x^{\overline n}$ 得到 $(x+n)^{\overline n}$ , $O(n \log n)$ 时间内求出一行 $Stirling$ 数 。

第二类斯特林数

$S(n,m)$ 表示 $n$ 个元素分成 $m$ 个集合的方案数。

有

$$S(n,m)=S(n,m-1)+S(n-1,m)*m$$

$$S(n,m)=\frac 1 {m!} \sum_{k=0}^m (-1)^k {m \choose k} (m-k)^n$$

根据组合意义可以得到

$$k^n=\sum_{i=0}^kA_k^iS(n,i)=\sum_{i=0}^ki!{k \choose i}S(n,i)$$
这里要用个东西叫二项式反演，大概是个容斥：
$$f(n)=\sum_{i=0}^n {n\choose i} g(i) \Rightarrow g(n)=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}{n\choose i} f(i)$$
用二项式反演得到
$$S(n,k)=\frac 1 {k!} \sum_{i=0}^k (-1)^{k-i} {k\choose i} i! \\ =\sum_{i=0}^{k} (-1)^{k-i} \frac{i^n}{i!(k-i)!}$$
然后一次FFT就好了。

注意 $k^n=\sum_{i=0}^kA_k^iS(n,i)$ 这个等式在推式子，算贡献时很有用，可以代换。