斯特林数(Stirling)——学习笔记

本文介绍了第一类和第二类斯特林数的概念及其递推公式,并提供了高效的计算方法,包括利用FFT和倍增技巧来加速计算过程。

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第一类斯特林数

s(n,m)s(n,m) 表示 nn 个元素组成 m 个圆排列


s(n,m)=s(n1,m1)+s(n1,m)(n1)s(n,m)=s(n−1,m−1)+s(n−1,m)∗(n−1)

s(n,m)=i=1ns(ni,m1)(n1i1)(i1)!s(n,m)=∑i=1ns(n−i,m−1)(n−1i−1)(i−1)!

xn¯¯¯=x(x+1)(x+2)...(x+n1)=i=0ns(n,i)xixn¯=x(x+1)(x+2)...(x+n−1)=∑i=0ns(n,i)xi

怎么求呢?用 xn¯¯¯xn¯

直接展开 xn¯¯¯xn¯ ,分治 FFTFFT 可以 O(nlog2n)O(nlog2⁡n)

更好的方法是倍增求 xn¯¯¯xn¯

x2n¯¯¯¯¯¯=xn¯¯¯(x+n)n¯¯¯x2n¯=xn¯(x+n)n¯

F(x,n)=xn¯¯¯F(x,n)=xn¯G(x,n)=(x+n)n¯¯¯G(x,n)=(x+n)n¯
G(x,n)=j=in(ji)F(x,n)njiG(x,n)=∑j=in(ji)F(x,n)nj−i

这样是卷积形式,就能从 xn¯¯¯xn¯ 得到 (x+n)n¯¯¯(x+n)n¯ , O(nlogn)O(nlog⁡n) 时间内求出一行 StirlingStirling 数 。
第二类斯特林数

S(n,m)S(n,m) 表示 nn 个元素分成 m 个集合的方案数。


S(n,m)=S(n,m1)+S(n1,m)mS(n,m)=S(n,m−1)+S(n−1,m)∗m

S(n,m)=1m!k=0m(1)k(mk)(mk)nS(n,m)=1m!∑k=0m(−1)k(mk)(m−k)n

根据组合意义可以得到

kn=i=0kAikS(n,i)=i=0ki!(ki)S(n,i)kn=∑i=0kAkiS(n,i)=∑i=0ki!(ki)S(n,i)

这里要用个东西叫二项式反演,大概是个容斥:
f(n)=i=0n(ni)g(i)g(n)=i=0n(1)ni(ni)f(i)f(n)=∑i=0n(ni)g(i)⇒g(n)=∑i=0n(−1)n−i(ni)f(i)

用二项式反演得到
S(n,k)=1k!i=0k(1)ki(ki)i!=i=0k(1)kiini!(ki)!S(n,k)=1k!∑i=0k(−1)k−i(ki)i!=∑i=0k(−1)k−iini!(k−i)!

然后一次FFT就好了。

注意 kn=ki=0AikS(n,i)kn=∑i=0kAkiS(n,i) 这个等式在推式子,算贡献时很有用,可以代换。

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