斯特林数(Stirling)——学习笔记

本文介绍了第一类和第二类斯特林数的概念及其递推公式,并提供了高效的计算方法,包括利用FFT和倍增技巧来加速计算过程。

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第一类斯特林数

s(n,m)s(n,m) 表示 nn 个元素组成 m 个圆排列


s(n,m)=s(n1,m1)+s(n1,m)(n1)s(n,m)=s(n−1,m−1)+s(n−1,m)∗(n−1)

s(n,m)=i=1ns(ni,m1)(n1i1)(i1)!s(n,m)=∑i=1ns(n−i,m−1)(n−1i−1)(i−1)!

xn¯¯¯=x(x+1)(x+2)...(x+n1)=i=0ns(n,i)xixn¯=x(x+1)(x+2)...(x+n−1)=∑i=0ns(n,i)xi

怎么求呢?用 xn¯¯¯xn¯

直接展开 xn¯¯¯xn¯ ,分治 FFTFFT 可以 O(nlog2n)O(nlog2⁡n)

更好的方法是倍增求 xn¯¯¯xn¯

x2n¯¯¯¯¯¯=xn¯¯¯(x+n)n¯¯¯x2n¯=xn¯(x+n)n¯

F(x,n)=xn¯¯¯F(x,n)=xn¯G(x,n)=(x+n)n¯¯¯G(x,n)=(x+n)n¯
G(x,n)=j=in(ji)F(x,n)njiG(x,n)=∑j=in(ji)F(x,n)nj−i

这样是卷积形式,就能从 xn¯¯¯xn¯ 得到 (x+n)n¯¯¯(x+n)n¯ , O(nlogn)O(nlog⁡n) 时间内求出一行 StirlingStirling 数 。
第二类斯特林数

S(n,m)S(n,m) 表示 nn 个元素分成 m 个集合的方案数。


S(n,m)=S(n,m1)+S(n1,m)mS(n,m)=S(n,m−1)+S(n−1,m)∗m

S(n,m)=1m!k=0m(1)k(mk)(mk)nS(n,m)=1m!∑k=0m(−1)k(mk)(m−k)n

根据组合意义可以得到

kn=i=0kAikS(n,i)=i=0ki!(ki)S(n,i)kn=∑i=0kAkiS(n,i)=∑i=0ki!(ki)S(n,i)

这里要用个东西叫二项式反演,大概是个容斥:
f(n)=i=0n(ni)g(i)g(n)=i=0n(1)ni(ni)f(i)f(n)=∑i=0n(ni)g(i)⇒g(n)=∑i=0n(−1)n−i(ni)f(i)

用二项式反演得到
S(n,k)=1k!i=0k(1)ki(ki)i!=i=0k(1)kiini!(ki)!S(n,k)=1k!∑i=0k(−1)k−i(ki)i!=∑i=0k(−1)k−iini!(k−i)!

然后一次FFT就好了。

注意 kn=ki=0AikS(n,i)kn=∑i=0kAkiS(n,i) 这个等式在推式子,算贡献时很有用,可以代换。

### 第一类斯特林的定义与计算 第一类斯特林(Signed Stirling numbers of the first kind 或 Unsigned Stirling numbers of the first kind)是组合学中的重要工具之一,主要用于描述排列分解成若干不相交循环的方式量。具体来说,它表示将 \(n\) 个不同元素划分为 \(k\) 个非空循环排列的方法目。 #### 定义 第一类斯特林通常记作 \([n, k]\),其中: - 如果考虑带符号的第一类斯特林,则其可以用来表达下降阶乘多项式的系。 - 不带符号的第一类斯特林则直接计划分方式的量[^1]。 对于正整 \(n\) 和 \(k\),\(|S_1(n, k)|\) 表示的是把 \(n\) 个对象分成 \(k\) 个环状排列的不同方法总。而有符号版本会引入交替符号来适应某些特定代结构下的需求。 #### 性质 以下是关于第一类斯特林的一些基本性质: - 当 \(n = k\) 时,显然只有一种可能的情况——即每个单独的对象构成自己的一个长度为一的圈;因此我们得到边界条件\[|S_1(k,k)|=1.\] - 若试图构建少于实际可分组情况或者超出合理范围内的分区方案都是不可能完成的任务,所以当\(k>n\)或\(k<0\)的时候,\( |S_1(n,k)|=0 .\)[^2] #### 计算法则 通过递推关系能够有效地求解这些值: 设无符号第一类斯特林满足如下递归公式: \[ S_1(n , k )=(n−1)\times{}S_1((n−1),k)+S_1((n−1),(k−1)) \] 这里体现了两种情形:要么新加入的一个成员自己形成一个新的独立周期,这对应着后者项;或者是被插入到已存在的某个现有周期之中去扩展之,这就关联到了前者那一部分贡献因子。(n − 1)代表了可供选择的位置点位[^3]. 下面给出基于上述公式的简单C++实现代码片段: ```cpp #include <bits/stdc++.h> using namespace std; long long stirling_first_kind(int n, int k){ vector<vector<long long>> dp(n+1,vector<long long>(k+1)); for (int i = 0;i<=n;i++) { for (int j = 0;j<=min(i,k);j++){ if(j==0 || j ==i ){ dp[i][j]=1; } else{ dp[i][j]=(i-1)*dp[i-1][j]+dp[i-1][j-1]; } } } return dp[n][k]; } // Example usage int main(){ cout<<stirling_first_kind(5,2)<<endl;// Output should be 50 according to definition and properties. } ```
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