[分治FFT] HDU5730 Shell Necklace_lynstery 分治fft-优快云博客

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本文介绍了一种结合CDQ分治与快速傅立叶变换（FFT）的技术，用于解决特定类型的卷积问题。该方法通过将问题分解为子问题，并利用FFT加速计算，实现了高效的求解过程。复杂度为O(nlog²n)。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

分治 $FFT$ ，就是 $CDQ$ 分治加 $FFT$ 。
用来解决这样的问题：已知 $g(x)$ ，且

f (i) = \sum i = 0 n - 1 f (i) g (n - i)

$f(i)=\sum_{i=0}^{n-1} f(i)g(n-i)$
求

f(x)f(x) $f(x)$ 。
就是直接

CDQCDQ $CDQ$ 分治，算

[L,mid][L,mid] $[L,mid]$ 对

[mid+1,R][mid+1,R] $[mid+1,R]$ 的贡献时，只需对

f(x)[L,mid]f(x)[L,mid] $f(x)[L,mid]$ 和

g(x)[1,R−L]g(x)[1,R−L] $g(x)[1,R-L]$ 乘一下。
复杂度

O(nlog2n)O(nlog2⁡n) $O(n \log^2 n)$
这题显然就是

f (i) = \sum j = 1 n f (i - j) a j

$f(i)=\sum_{j=1}^{n} f(i-j)a_j$
裸题，貌似跑得挺快..

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cctype>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn=700005,MOD=313;
const double PI=acos(-1);
inline char gc(){
  static char buf[100000],*p1=buf,*p2=buf;
  return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
inline int getint(){
  char ch=gc(); int res=0,ff=1;
  while(!isdigit(ch)) ch=='-'?ff=-1:0, ch=gc();
  while(isdigit(ch)) res=(res<<3)+(res<<1)+ch-'0', ch=gc();
  return res*ff;
}
struct E{
  double real,imag;
  E(double t1=0,double t2=0){ real=t1; imag=t2; }
};
E operator + (const E &A,const E &B){ return E(A.real+B.real,A.imag+B.imag); }
E operator - (const E &A,const E &B){ return E(A.real-B.real,A.imag-B.imag); }
E operator * (const E &A,const E &B){ return E(A.real*B.real-A.imag*B.imag,A.real*B.imag+A.imag*B.real); }
int rev[maxn];
void get_rev(int n){
  int t=0; while((1<<t)<n) t++;
  rev[0]=0; for(int i=1;i<=n-1;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<t-1);
}
void FFT(E a[],int n,int k){
  for(int i=0;i<=n-1;i++) if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
  for(int m=2;m<=n;m<<=1){
    E wm(cos(2*PI/m),sin(2*PI/m)*k);
    for(int i=0;i<=n-1;i+=m){
      E w(1,0),t0,t1;
      for(int j=0;j<=(m>>1)-1;j++,w=w*wm) t0=a[i+j], t1=w*a[i+j+(m>>1)], a[i+j]=t0+t1, a[i+j+(m>>1)]=t0-t1; 
    }
  }
  if(k==-1) for(int i=0;i<=n-1;i++) a[i].real/=n, a[i].imag/=n;
}
int f[maxn],B[maxn];
E tmp1[maxn],tmp2[maxn];
void Divide(int L,int R){
  if(L==R){
    if(L==0) f[0]=1;
    return;
  }
  int mid=(L+R)>>1;
  Divide(L,mid);
  for(int i=L;i<=mid;i++) tmp1[i-L]=f[i];
  for(int i=1;i<=R-L;i++) tmp2[i]=B[i];
  int n=R-L+1,_n=1; while(_n<n) _n<<=1; n=_n; get_rev(n);
  FFT(tmp1,n,1); FFT(tmp2,n,1);
  for(int i=0;i<=n-1;i++) tmp1[i]=tmp1[i]*tmp2[i];
  FFT(tmp1,n,-1);
  for(int i=mid+1;i<=R;i++) f[i]=(f[i]+(LL)(tmp1[i-L].real+0.1)%MOD)%MOD;
  for(int i=0;i<=n-1;i++) tmp1[i]=tmp2[i]=0;
  Divide(mid+1,R);
}
int n;
int main(){
  freopen("hdu5730.in","r",stdin);
  freopen("hdu5730.out","w",stdout);
  while(n=getint()){
    for(int i=1;i<=n;i++) B[i]=getint()%MOD;
    for(int i=0;i<=n;i++) f[i]=0;
    Divide(0,n);
    printf("%d\n",f[n]);
  }
  return 0;
}