伯努利(Bernoulli)数学习笔记

伯努利数的指数型生成函数为B(x)=∑i=0Bii!xi=xex−1B(x)=\sum_{i=0} \frac{B_i}{i!} x^i=\frac{x}{e^x-1}B(x)=i=0i!Bixi=ex1x

由此可得B0=1,B1=−12,B3=16,B4=0,B5=130...B_0=1,B_1=-\frac{1}{2},B_3=\frac{1}{6},B_4=0,B_5=\frac{1}{30}...B0=1,B1=21,B3=61,B4=0,B5=301...

如何求伯努利数?显然可以多项式求逆,或者通过一个性质O(n2)O(n^2)O(n2)求。

(以下[xn]B(x)[x^n]B(x)[xn]B(x)指的是B(x)B(x)B(x)nnn次项系数。)

因为xex−1(ex−1)=x\frac{x}{e^x-1}(e^x-1)=xex1x(ex1)=x

所以[xn]B(x)(ex−1)=∑i=0n−1Bii!∗1(n−i)!=[n=1][x^n]B(x)(e^x-1)=\sum_{i=0}^{n-1}\frac{B_i}{i!}*\frac{1}{(n-i)!}=[n=1][xn]B(x)(ex1)=i=0n1i!Bi(ni)!1=[n=1]

所以∑i=0n−1BiCni=[n=1]n!=[n=1]\sum_{i=0}^{n-1}B_iC_n^i=[n=1]n!=[n=1]i=0n1BiCni=[n=1]n!=[n=1]

那么已知B0=1B_0=1B0=1∑i=0nBiCn+1i=0\sum_{i=0}^n B_iC_{n+1}^i=0i=0nBiCn+1i=0,则Bn=−∑i=0n−1BiCn+1in+1B_n=-\frac{\sum_{i=0}^{n-1} B_iC_{n+1}^i}{n+1}Bn=n+1i=0n1BiCn+1i

于是就可以O(n2)O(n^2)O(n2)方便地求伯努利数,或者O(nlog⁡n)O(n \log n)O(nlogn)常数巨大又不方便地求。

伯努利数还有个重要性质。

Sk(n)=∑i=0n−1ikS_k(n)=\sum_{i=0}^{n-1} i^kSk(n)=i=0n1ik

Sk(n)=1k+1∑i=0kCk+1iBink+1−iS_k(n)=\frac{1}{k+1} \sum_{i=0}^k C_{k+1}^iB_in^{k+1-i}Sk(n)=k+11i=0kCk+1iBink+1i

模板题1 51nod 1228 O(n2)O(n^2)O(n2)求伯努利数

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define RI register int
typedef long long LL;
const int mod=1000000007;
int B[2005],C[2005][2005],mi[2005],K,T;LL n;

int qm(int x) {return x>=mod?x-mod:x;}
int ksm(int x,int y) {
	int re=1;
	for(;y;y>>=1,x=1LL*x*x%mod) if(y&1) re=1LL*re*x%mod;
	return re;
}
void prework() {
	for(RI i=0;i<=2001;++i) {
		C[i][0]=1;
		for(RI j=1;j<=i;++j) C[i][j]=qm(C[i-1][j]+C[i-1][j-1]);
	}
	B[0]=1;
	for(RI i=1;i<=2000;++i) {
		for(RI j=0;j<i;++j) B[i]=qm(B[i]+1LL*B[j]*C[i+1][j]%mod);
		B[i]=qm(mod-1LL*B[i]*ksm(i+1,mod-2)%mod);
	}
}
int main()
{
	prework();
	scanf("%d",&T);
	while(T--) {
		scanf("%lld%d",&n,&K);
		n=qm(n%mod+1);int ans=0;
		mi[0]=1;for(RI i=1;i<=K+1;++i) mi[i]=1LL*mi[i-1]*n%mod;
		for(RI i=0;i<=K;++i) ans=qm(ans+1LL*C[K+1][i]*B[i]%mod*mi[K+1-i]%mod);
		printf("%lld\n",1LL*ans*ksm(K+1,mod-2)%mod);
	}
    return 0;
}

模板题2 51nod 1258 O(nlog⁡n)O(n \log n)O(nlogn)求伯努利数

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define RI register int
typedef long long LL;
typedef long double db;
const int mod=1000000007,N=131080,M=32767;
const db pi=acos(-1);
int K,T;LL n;
int fac[N],inv[N],ifac[N],rev[N],len[N];
int aa[N],bb[N],k1[N],k2[N];
struct com{db r,i;}a[N],b[N],Aa[N],Ab[N],Ba[N],Bb[N];
com operator + (com A,com B) {return (com){A.r+B.r,A.i+B.i};}
com operator - (com A,com B) {return (com){A.r-B.r,A.i-B.i};}
com operator * (com A,com B) {return (com){A.r*B.r-A.i*B.i,A.r*B.i+A.i*B.r};}
com conj(com A) {return (com){A.r,-A.i};}

int qm(int x) {return x>=mod?x-mod:x;}
int ksm(int x,int y) {
	int re=1;
	for(;y;y>>=1,x=1LL*x*x%mod) if(y&1) re=1LL*re*x%mod;
	return re;
}
void FFT(com *a,int n) {
	for(RI i=0;i<n;++i) if(rev[i]>i) swap(a[i],a[rev[i]]);
	for(RI i=1;i<n;i<<=1) {
		com wn=(com){cos(pi/i),sin(pi/i)};
		for(RI j=0;j<n;j+=(i<<1)) {
			com t1,t2,w=(com){1,0};
			for(RI k=0;k<i;++k,w=w*wn)
				t1=a[j+k],t2=a[j+i+k]*w,a[j+k]=t1+t2,a[j+i+k]=t1-t2;
		}
	}
}
void mul(int *ka,int *kb,int *kc,int n) {
	for(RI i=0;i<n;++i) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(len[n]-1));
	for(RI i=0;i<(n>>1);++i) {
		a[i]=(com){(db)(ka[i]&M),(db)(ka[i]>>15)};
		b[i]=(com){(db)(kb[i]&M),(db)(kb[i]>>15)};
		a[i+(n>>1)]=b[i+(n>>1)]=(com){0,0};
	}
	FFT(a,n),FFT(b,n);
	for(RI i=0;i<n;++i) {
		int j=(n-i)&(n-1);
		com kAa=(a[i]+conj(a[j]))*(com){0.5,0};
		com kAb=(a[i]-conj(a[j]))*(com){0,-0.5};
		com kBa=(b[i]+conj(b[j]))*(com){0.5,0};
		com kBb=(b[i]-conj(b[j]))*(com){0,-0.5};
		Aa[j]=kAa*kBa,Ab[j]=kAa*kBb,Ba[j]=kAb*kBa,Bb[j]=kAb*kBb;
	}
	for(RI i=0;i<n;++i)
		a[i]=Aa[i]+Ab[i]*(com){0,1},b[i]=Ba[i]+Bb[i]*(com){0,1};
	FFT(a,n),FFT(b,n);
	for(RI i=0;i<n;++i) {
		int kAa=(LL)(a[i].r/n+0.5)%mod;
		int kAb=(LL)(a[i].i/n+0.5)%mod;
		int kBa=(LL)(b[i].r/n+0.5)%mod;
		int kBb=(LL)(b[i].i/n+0.5)%mod;
		kc[i]=qm(((LL)kAa+((LL)(kAb+kBa)<<15)+((LL)kBb<<30))%mod+mod);
	}
}
void getinv(int *a,int *b,int n) {
	if(n==1) {b[0]=ksm(a[0],mod-2),b[1]=0;return;}
	getinv(a,b,n>>1),mul(a,b,k1,n<<1),mul(k1,b,k2,n<<1);
	for(RI i=0;i<n;++i) b[i]=qm(qm(b[i]+b[i])-k2[i]+mod),b[i+n]=0;
}

int C(int d,int u) {return 1LL*fac[d]*ifac[u]%mod*ifac[d-u]%mod;}
void prework() {
	inv[0]=inv[1]=1,ifac[0]=1,fac[0]=1;
	for(RI i=1;i<N;++i) fac[i]=1LL*fac[i-1]*i%mod;
	for(RI i=2;i<N;++i) inv[i]=1LL*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
	for(RI i=1;i<N;++i) ifac[i]=1LL*ifac[i-1]*inv[i]%mod;
	int kn=1;while(kn<=50000) kn<<=1,len[kn]=len[kn>>1]+1;
	len[kn<<1]=len[kn]+1;
	for(RI i=0;i<kn;++i) aa[i]=ifac[i+1];
	getinv(aa,bb,kn);
	for(RI i=0;i<=50000;++i) bb[i]=1LL*bb[i]*fac[i]%mod;
}
int main()
{
	prework();
	scanf("%d",&T);
	while(T--) {
		scanf("%lld%d",&n,&K);
		n=qm(n%mod+1);int ans=0;
		for(RI i=1,j=n;i<=K+1;++i,j=1LL*j*n%mod)
			ans=qm(ans+1LL*C(K+1,K+1-i)*bb[K+1-i]%mod*j%mod);
		printf("%lld\n",1LL*ans*inv[K+1]%mod);
	}
    return 0;
}
<think>好的,我现在需要帮助用户了解伯努利的递推公式及其计算方法。首先,我需要回顾一下伯努利的基本定义和相关知识。伯努利是一组在论和组合学中非常重要的列,通常用符号$B_n$表示。它们在自然幂和、黎曼ζ函等领域有广泛应用。 根据用户提供的引用资料,特别是引用[1]和引用[3],伯努利的递推关系可以通过归纳法来证明,而且递推法是计算伯努利的一种方法。我需要先明确递推公式的具体形式。根据已有的知识,伯努利的递推公式通常表示为: $$ \sum_{k=0}^n \binom{n+1}{k} B_k = 0 \quad (n \geq 1) $$ 其中$B_0 = 1$。这个递推式允许我们从已知的$B_0$开始,逐步计算后续的伯努利。例如,当n=1时,代入公式可以得到: $$ \binom{2}{0}B_0 + \binom{2}{1}B_1 = 0 $$ 即$1 \cdot 1 + 2 \cdot B_1 = 0$,解得$B_1 = -\frac{1}{2}$。类似地,可以计算更高阶的伯努利。这个过程需要用户对组合有一定的了解,并且需要逐步代入计算,可能会比较繁琐,但确实有效。 接下来,用户可能想知道具体的计算步骤和示例,所以需要详细说明如何应用递推公式。例如,计算$B_2$时,取n=2,递推公式变为: $$ \binom{3}{0}B_0 + \binom{3}{1}B_1 + \binom{3}{2}B_2 = 0 $$ 代入已知的$B_0$和$B_1$,解出$B_2 = \frac{1}{6}$。这样一步步计算下去,直到所需的$B_n$。 另外,用户提到的引用[4]提到使用母函(生成函)的方法来计算伯努利伯努利的生成函是: $$ \frac{t}{e^t - 1} = \sum_{n=0}^\infty B_n \frac{t^n}{n!} $$ 通过展开这个生成函,可以逐个求出伯努利。这种方法可能需要泰勒展开或级展开的知识,对于熟悉生成函的用户来说可能更直观。但生成函的方法可能计算起来比较繁琐,尤其是手工计算高阶项时容易出错,这时候递推法可能更可靠。 用户还可能关心伯努利的应用,比如在自然幂和中的使用。根据引用[2]和引用[3],自然的m次幂和可以用伯努利表示,例如: $$ \sum_{k=1}^n k^m = \frac{1}{m+1} \sum_{k=0}^m \binom{m+1}{k} B_k n^{m+1 -k} $$ 这里需要用到伯努利的值,所以正确计算伯努利对于求解自然幂和至关重要。用户可能希望了解如何将递推出的伯努利代入到这样的公式中,因此需要给出一个具体的例子,比如计算平方和,展示伯努利的实际应用。 在解释递推公式时,还需要注意一些细节,比如当n为1时的特殊情况,以及如何处理递推过程中可能出现的分运算。此外,需要提醒用户注意伯努利的符号和索引,因为不同文献中伯努利的定义可能略有不同,特别是$B_1$的值有时会被定义为$-1/2$或$+1/2$,这取决于具体的约定。 用户可能存在的疑问包括:递推公式的来源是什么?为什么伯努利会有这样的递推关系?这时候可以简要提到伯努利与生成函的关系,以及如何通过生成函的微分或代操作导出递推式。例如,生成函的导可能会生成递推关系中所需的组合项。 此外,引用[1]提到《Concrete Mathematics》这本书中使用了归纳法证明递推关系,可能用户会想参考这本书获取更详细的证明过程。因此,在回答中可以建议用户查阅该书以获得更深入的了解。 最后,需要确保回答的结构清晰,分步骤解释递推公式的计算方法,并给出具体例子,同时指出相关的应用和注意事项。可能还需要比较递推法与其他方法(如母函法)的优缺点,帮助用户根据具体情况选择合适的方法。</think>### 伯努利的递推公式及计算方法 伯努利Bernoulli numbers)$B_n$是一组重要的有理序列,其递推公式定义为: $$ \sum_{k=0}^n \binom{n+1}{k} B_k = 0 \quad (n \geq 1), $$ 其中初始条件为$B_0 = 1$[^3]。以下是具体计算步骤和示例: --- #### **递推公式的推导与计算步骤** 1. **初始条件**: 从$B_0 = 1$开始,逐步计算更高阶的$B_n$。 2. **递推公式的应用**: 对每个$n \geq 1$,解方程: $$ \sum_{k=0}^n \binom{n+1}{k} B_k = 0. $$ 将已知的$B_0, B_1, \dots, B_{n-1}$代入,解出$B_n$。 3. **示例计算**: - **计算$B_1$**: 当$n=1$时,公式变为: $$ \binom{2}{0}B_0 + \binom{2}{1}B_1 = 0 \implies 1 \cdot 1 + 2 \cdot B_1 = 0 \implies B_1 = -\frac{1}{2}. $$ - **计算$B_2$**: 当$n=2$时,公式为: $$ \binom{3}{0}B_0 + \binom{3}{1}B_1 + \binom{3}{2}B_2 = 0 \implies 1 \cdot 1 + 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + 3 \cdot B_2 = 0. $$ 解得$B_2 = \frac{1}{6}$。 --- #### **其他计算方法** 1. **母函法**: 伯努利的生成函为: $$ \frac{t}{e^t - 1} = \sum_{n=0}^\infty B_n \frac{t^n}{n!}, $$ 通过泰勒展开可逐项计算$B_n$[^2]。 2. **编程实现**: 使用递推公式编写代码(例如Python): ```python def bernoulli_numbers(n_max): B = [0] * (n_max + 1) B[0] = 1 for n in range(1, n_max + 1): s = 0 for k in range(n): s += comb(n + 1, k) * B[k] B[n] = -s / (n + 1) return B ``` --- #### **伯努利的应用** 伯努利在自然幂和公式中起核心作用,例如计算$\sum_{k=1}^n k^m$时: $$ \sum_{k=1}^n k^m = \frac{1}{m+1} \sum_{k=0}^m \binom{m+1}{k} B_k n^{m+1 -k}. $$ 例如,平方和公式为: $$ \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, $$ 其中系$\frac{1}{6}$与$B_2$直接相关[^2][^4]。 ---
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