伯努利数

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生成函数$$B(z)=\frac{z}{e^z-1}=\sum B_n\frac{z^n}{n!}$$
递推式($n^2$)
$$B_0=1$$$$B_n=-\sum _{k=0}^{n-1}{C}_n^k\frac{B_k}{n-k+1}$$
也可以写成这样$$\sum _{k=0}^n{C}_{n+1}^k{B}_k=0$$
和自然数幂和的关系

$$\sum _{k=1}^n{k}^p=\frac{{\sum }_{j=0}^p(-1{)}^j{C}_{p+1}^j{B}_j{n}^{p+1-j}}{p+1}$$

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当然有的公式会把$(-1{)}^j$那一项去掉不过通常不会有问题，因为除了$B_1=-\frac{1}{2}$其余$B_{2n+1}=0$，反正注意判断一下就行了


一些其他的东西
已知$n$多项式上的$n+1$个点，那么我们可以得到这个多项式

$$F(z)=\sum _{i=0}^n\frac{y_i{\prod }_{j̸=i}(z-x_j)}{{\prod }_{j̸=i}(x_i-x_j)}$$

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这个公式叫拉格朗日插值
其实本质就是构造而已，把这些点带入大概就知道这个式子怎么回事了
这个东西可以在$O(k)$时间复杂度求自然数幂和
首先用线性筛筛出$0$到$k$的k次方之和，这一步要$O(k)$复杂度
让后预处理出$1-k$的阶乘，将每个点$(i,i^k)$和$z=n$带入上面的式子就可以得到答案了
但是这个东西不能求出各项系数