伯努利数

扩展的灰

于 2018-10-24 18:32:58 发布

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分类专栏： OI 数学 ----组合数学 ----多项式相关 ----生成函数文章标签：伯努利数多项式组合数学生成函数扩展的灰

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伯努利数是数学中的一个重要概念，其生成函数为B(z) = e^z - 1 / z，该函数涉及到多项式、组合数学和生成函数的理论。递推式(n^2)给出了伯努利数的计算方式。拉格朗日插值公式F(z)用于多项式重建，可以用于在O(k)时间复杂度内求解自然数幂和。然而，这种方法无法直接获取多项式的各项系数。

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生成函数 $B(z)=zez−1=∑Bnznn!B(z)=\frac{z}{e^z-1}=\sum B_n\frac{z^n}{n!}$
递推式( $n^2$ )
$B_0=1$ $Bn=−∑k=0n−1CnkBkn−k+1B_n=-\sum_{k=0}^{n-1}C_n^k\frac{B_k}{n-k+1}$
也可以写成这样 $∑k=0nCn+1kBk=0\sum_{k=0}^nC_{n+1}^kB_k=0$
和自然数幂和的关系

$∑k=1nkp=∑j=0p(−1)jCp+1jBjnp+1−jp+1\sum_{k=1}^nk^p=\frac{\sum_{j=0}^p(-1)^jC_{p+1}^jB_jn^{p+1-j}}{p+1}$

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当然有的公式会把 $1)^j$ 那一项去掉不过通常不会有问题，因为除了 $B1=−12B_1=-\frac{1}{2}$ 其余 $B_{2n+1}=0$ ，反正注意判断一下就行了

一些其他的东西
已知 $n$ 多项式上的 $n + 1$ 个点，那么我们可以得到这个多项式

$F(z)=∑i=0nyi∏j≠i(z−xj)∏j≠i(xi−xj)F(z)=\sum_{i=0}^n\frac{y_i\prod_{j\neq i}(z-x_j)}{\prod_{j\neq i}(x_i-x_j)}$

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这个公式叫拉格朗日插值
其实本质就是构造而已，把这些点带入大概就知道这个式子怎么回事了
这个东西可以在 $O (k)$ 时间复杂度求自然数幂和
首先用线性筛筛出 $0$ 到 $k$ 的k次方之和，这一步要 $O (k)$ 复杂度
让后预处理出 $1 - k$ 的阶乘，将每个点 $i,i^k)$ 和 $z = n$ 带入上面的式子就可以得到答案了
但是这个东西不能求出各项系数