[组合卡特兰数] 51Nod1556 计算

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卡特兰数

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本文介绍了一种利用卡特兰数解决特定组合问题的方法。通过对加减运算序列进行枚举，结合卡特兰数的性质，给出了满足特定条件的序列方案数的计算公式，并提供了一个C++实现示例。

卡特兰数的简单应用。就是枚举加几个0，剩下的就是卡特兰数相关的理论。
设加 $n$ 个 $1$ ， $m$ 个 $-1$ ，则满足前缀和非负的方案数为 ${n+m \choose m}-{n+m\choose m-1}$ 。
由于这题最后的总和没有规定，所以我们需要算 $f(x)$ 表示 $n+m=x$ 时的所有方案：

f (x) = \sum m = 0 ⌊ x 2 ⌋ ((x m) - (x m - 1)) = (x ⌊ x 2 ⌋)

$f(x)=\sum_{m=0}^{\lfloor \frac x 2\rfloor } \Bigl(\ {x\choose m}-{x\choose m-1}\ \Bigr)={x \choose \lfloor \frac x 2\rfloor }$
注意题目实际上让你填

n−1 $n-1$ 个数，所以 n--,最后的答案就是：

f (x) = \sum i = 0 n (n i) (n - i ⌊ n - i 2 ⌋)

$f(x)=\sum_{i=0}^n {n\choose i}{n-i\choose \lfloor \frac {n-i} 2 \rfloor }$

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn=3000005,N=3000000,MOD=1e9+7;
int n;
LL fac[maxn],inv[maxn],fac_inv[maxn],ans;
inline LL C(int n,int m){ return (n<0||m<0||n<m)?0:fac[n]*fac_inv[m]%MOD*fac_inv[n-m]%MOD; }
int main(){
    scanf("%d",&n); n--;
    fac[0]=1; for(int i=1;i<=N;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%MOD;
    inv[1]=1; for(int i=2;i<=N;i++) inv[i]=(LL)(MOD-MOD/i)*inv[MOD%i]%MOD;
    fac_inv[0]=1; for(int i=1;i<=N;i++) fac_inv[i]=fac_inv[i-1]*inv[i]%MOD;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<=n;i++) (ans+=C(n,i)*C((n-i),(n-i)/2)%MOD)%=MOD;
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}